谈高中数学解题教学——以必修二一道习题教学为例

◆周海舟

高中数学教学和学习都与解题密切相关，因此，解题教学如何开展是一个重要的研究课题。通常情况下，在解题教学中，高中数学教师应引导学生审清题意、探究解题思路、规范作答，解题后应进行回顾反思。教师要善于引导学生总结解题方法，体会数学思想，使学生掌握通性通法，构建起完整的知识体系。

最近在校内听了一位高一数学老师的随堂课，该堂课讲了直线与圆的位置关系，课堂讲解很精彩，学生课堂参与度也很高，个人感觉学生对该堂课所讲的知识掌握情况良好。离下课还有十分钟左右，该教师布置了必修二（人教A版）课本上132页习题4.2A组的第一题进行课堂练习，结果学生作答效果不理想，做出来的学生寥寥无几，我和该教师都感觉很诧异。课后我就这道习题的教学与该教师进行了交流，现就这道题的教学谈谈自己的看法，以供同行们参考。

一、题目分析

题目：判断直线4x—3y=50与圆x2+y2=100的位置关系。如果有公共点，求出公共点的坐标。

在讲解这道题之前，学生们已经掌握了直线的方程、圆的方程、两直线位置关系、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系、联立方程组求公共点等内容，为解答这道题奠定了一定的基础。

从题意分析，本道题有两个问题：1.判断直线与圆的位置关系；2.求直线与圆的公共点。要解决第一个问题主要有两个思路：1.联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程并求解，从而判断位置关系；2.求圆心到直线的距离，并与圆的半径进行比较大小，以确定直线与圆的位置关系。要解决第二个问题常用的思路就是联立方程组。因此，学生很容易会想到联立方程组的解法，既可以解决第一个问题又可以解决第二个问题。但是，在实际解答过程中，发现大部分学生方程组解不出来，主要问题是直线方程变形后代入圆的方程后，既有分母又有完全平方，而且数字较大计算量很大，出错的可能性很大，从而导致学生作答情况不理想。

二、具体解法

本人觉得本题至少有三种解法。

大多数学生都是采取的这种解法。但是，在这种解法中，学生很容易在化简过程中出现分式，从而导致计算量加大，而且很多学生完全平方公式掌握不好，容易掉了中间项，从而出错。

在看学生解答情况中，发现有一个学生虽然没有解方程组的过程，却得出了正确结果。课后与这位同学交流后得知，其认为这个题目两个方程数字都是整数，而且圆的方程接近初中学的勾股定理，由直线方程中字母的系数4和3联想到了勾股数，从而把常用的勾股数及其相反数代入方程组，发现x=8，y=—6刚好满足方程组。本人肯定了这位同学的机智，但也指出了其存在的问题：通过有限的验算不能保证方程组只有一组解，并指导其对自己的解法进行了改进，具体改进方法见下文。

解法二：三角代换

由圆的方程为 x2+y2=100，设 x=10cosα，y=10sinα，并将x、y代入直线求交点，得一个交点，同时说明了直线与圆相切。这种解法需要利用到圆的参数方程、辅助角公式、诱导公式等较多的三角函数知识，目前还没有完全学习完相关知识，适合在高三总复习重讲此题的时候采用。

解法三：几何法

首先，通过求圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，即相切。然后求切点，利用初中学过的圆的性质：圆心与切点的连线与切线垂直。将直线与圆的公共点转化为两条直线的公共点，由二元二次方程组转化为二元一次方程组，大大简化了计算难度，具体解答过程就不详细叙述。

这种解法虽然要先判断位置关系，后求公共点，思路不及解法一直观，但是避开了解二次方程组以及完全平方等区内学生易错点，计算量相对于解法一来说要小一些，出错的可能性也要小很多。当然在判断出直线与圆相切后，知道只有唯一公共点后，也可以采取上文提到的该同学用勾股数相关的验算法，得出直线与圆的公共点的坐标。

另外，教师也可以引导学生利用几何画板等软件画出本题中给定的直线和圆准确的图形，帮助学生进行分析判断，判断出直线和圆的位置关系，找出最优的解法。

三、几点建议

1.注重一题多解，使学生能够巩固所学知识并灵活选取合适的方法进行解题，培养学生的发散思维能力。一题多解作为培养学生创新思维和创新意识的有效方式，应该得到高中数学教师的充分重视，为学生的发展与创新意识奠定一定的基础。在本题中，方法一虽然直观，最容易想到，但是计算量大。如果学生掌握了多种方法，一旦发现自己很难算出来，就可能会尝试换一种方法，而不是一味地硬算，最后花了很长时间可能还算错了。

2.加强学生的计算能力训练，让学生掌握一定的计算技巧。在解法一中，如果学生能够掌握整体代入，两个方程同时变形的技巧，应该还是有很多同学能正确解出结果。同时应加强学生完全平方公式的训练，达到熟能生巧，确保准确无误。

3.充分备课，细化到每一道习题。在备课时教师常常注重知识点的讲解，而容易忽视习题，有些教师认为教材的习题都是从易到难，前几道都会比较简单而自己没有认真做，从而可能会出现解法单一、出现问题应对不当等情况。在备课时应认真将习题仔细做一遍，思考有没有多种解法，哪种解法更适合区内学生，从而达到更好的教学效果。

4.注重变式训练，让学生举一反三。数学解题教学在数学教学中占了很大的一部分，数学课上几乎每节课都涉及到解题教学，对数学知识的考查也基本上落实到解题上了。因此，教师对解题教学的正确把握将会提高学生的学业成绩。虽然随着教育观念的逐渐改变，学生机械性的练习有所减少，但是为了应付高考，学生还是在不断为成绩而强化练习。

在讲解完本题后，可以将直线方程改为4x+3y=50，让学生自己尝试去解答，通过学生的作答情况来检验教学的效果。并逐步拓展到既改变直线的方程也改变圆的方程。在设计变式练习时，应注意思维跳跃性不宜过大，应在学生的“最近发展区”内，让学生“跳一跳”就可以摸到，让学生在正确解答的过程中逐步建立学好数学的信心，避免沦为题海战术。

5.解题完成后要引导学生进行反思，让学生在反思中进步，在反思中巩固知识、培养素质、发展能力。

学生们在解数学题时，容易因为审题不准、概念不清、忽视条件、套用相近知识、考虑不周或计算出错等问题，难免产生这样或那样的错误，不能保证一次性完全正确。所以解题完成后，必须引导学生对解题过程进行回顾、评价和反思，对所得解题结果的正确性和合理性进行验证。

在解题教学过程中，教师可以给学生适当讲解一些解题理论，帮助学生自己动手分析题目并成功解题。例如，波利亚在其著作《怎样解题》中指出问题解决可以分四个阶段：第一，理解题目，必须清楚地看到所要求的是什么；第二，知道各个项目是如何相关的，未知量和数据之间有什么关系，以得到解题的思路，拟定一个方案；第三，执行方案；第四，回顾所完成的解答，检查和讨论它。总结起来就是“理解问题--制定方案--执行方案--回顾”四个阶段。波利亚这一理论可以较好地指导学生在碰到问题后，如何自己分析问题、解决问题。