概率论与数理统计教学中有关正态分布性质的课堂讲授

徐晨

摘 要：正态分布是概率论与数理统计中最重要的分布，正态分布有很多经典性质和较强的实际应用价值，本文主要介绍在概率论和数理统计课程中有关正态分布性质的课堂讲授方法。

关键词：概率论，数理统计，正态分布

概率论与数理统计这门课程是理工学科本科生非常重要的一门数学基础课程，学生只要有了微积分和线性代数的基础就可以学习概率论与数理统计。正态分布是概率论与数理统计课程中非常重要的一个分布，有关正态分布的定义、性质及应用贯彻这门课的始终，因此在课堂上关于正态分布由来、定义、性质及应用等内容的透彻讲解是非常重要的。

正态分布（Normal distribution），也称高斯分布（Gaussian distribution），最早在1733年由棣莫弗在求二項分布B（N，p）在N为取值较大并且为偶数，p=1/2时概率分布的渐近公式中得到，1809年高斯在研究测量误差时从误差的最大似然估计角度导出了正态分布的密度函数。与此同时拉普拉斯将误差的正态分布理论和中心极限定理联系起来，指出如果误差可以看成许多微小量的叠加而成，则根据他给出中心极限定理，随机误差应该服从正态分布。

如果一个连续型随机变量X的密度函数f（x）为：

那么就称随机变量X服从正态分布，记作X～N（？滋，？滓2）正态分布的密度曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，又常称之为钟形曲线。参数？滋为正态分布的期望，也是正态分布的一阶半不变量，并且参数？滋决定了密度曲线对称轴，因此也称为位置参数;参数？滓2为正态分布的方差，也是正态分布的二阶半不变量，正态分布的三阶及以上半不变量均为0，并且参数？滓2决定了密度曲线的幅度，因此也称为尺度参数。当？滋=0，？滓2=1时的正态分布是标准正态分布。

一、正态分布密度函数的难点

如果一个连续型随机变量X～N（？滋，？滓2）其密度函数f（x）的核为：f（x）∝e-x2而函数g（x）=e-x2即为一个钟型曲线，由微积分的性质可知对于不定积分■e-x2dx是没有显示原函数的，因此在求解定积分■e-x2dx时，就不可以应用著名的牛顿-莱布尼茨定理：如果函数f（x）区间[a，b]上有定义，并且满足以下条件，（1）在区间[a，b]上可积，（2）在区间[a，b]上存在原函数F（x），则.■f（x）dx=F（b）-F（a）=F（x）|ba因此不同于均匀分布、指数分布的情况，正态分布在计算随机变量取值在区间[a，b]上的概率时，无法给出精确解，需要查标准正态分布分布函数值表来得到近似解，并且任意一个服从正态分布N（？滋，？滓2）的随机变量X需要通过中心标准化转换成标准正态分布■～N（0，1）。综上，在课堂讲授时需向同学解释清楚正态密度曲线的特点，并且解释清楚正态分布的概率计算为什么需要查表得近似值。

二、正态分布密度函数必然事件的概率

如果连续型随机变量X～N（？滋，？滓2），其密度函数为f（x），则肯定有■f（x）dx=1，当然这个结论也不是通过牛顿-莱布尼茨定理得到，而且利用了定积分中的坐标变换得到的。不妨以标准正态分布来举例，连续型随机变量X～N（0，1），其密度函数为？渍（x），记I=■？渍（x）dx>0，则I2=■？渍（x）dx■？渍（y）dx，此时，利用直角坐标系与极坐标系的转换，记r2=x2+y2，tan？兹=y/x则有I2=■■■e■dxdy=■■■e■rdrd？兹=1，因此可以得到I=■？渍（x）dx=1. 综上，正态分布密度曲线下方面积为1是利用了一定的数学技巧得到的，需给同学解释清楚。

三、常见的正态分布性质

正态分布作为概率论与数理统计中最重要的分布，它有很多经典性质，了解这些性质可以加深对正态分布的理解与掌握，下面列举一些常见的正态分布的性质。

两个独立的正态分布的乘积还是正态分布;

两个独立正态分布的卷积还是正态分布，也就是两个正态分布的和还是正态分布;

正态分布N（0，？滓2）的傅立叶变换还是正态分布;

中心极限定理保证了多个随机变量的求和效应将导致正态分布;

正态分布和其它具有相同方差的概率分布相比，具有最大熵;

Cramer分解定理：如果X，Y是独立的随机变量，且S=X+Y是正态分布，那么X，Y也是正态分布;

如果X，Y独立且均服从正态分布N（？滋，？滓2），那么X+Y，X-Y独立且同分布，而正态分布是唯一满足这一性质的概率分布;

对于两个正态分布X，Y，如果X，Y不相关则意味着X，Y独立，而正态分布是唯一满足这一性质的概率分布。

总之，在概率论与数理统计课程上介绍正态分布时，需介绍正态分布的产生历史、密度函数特点、常见的性质，加深同学对正态分布的理解，更好的掌握有关正态分布的内容。

参考文献：

[1]熊令纯.正态分布的若干性质[J].数学理论与应用，2000，（2）：103-105.

[2]武妍戎.正态分布及其衍生分布的性质统计意义研究[J].科学家，2017，（1）：20—22.