基本不等式与“对勾”函数

2018-02-22 03:21
张家口职业技术学院学报 2018年3期
关键词:常值法求值域

毛 铭

(张家口市第一中学,河北 张家口075000)

一、求最值

例1.已知a、b∈R+,a+b=4,求ab的最大值。

以上形式还可用于应用题。

例2.用一块长为20m的篱笆靠墙围成一块菜园(如图所示),问:长、宽各为多少m时,围成的菜园面积最大?

解:该长为xm,0

此时S≤50

∴当菜园长为10m,宽为5m时,菜园面积最大为50m2。

二、配凑法求最值

三、通过常值代换法求最值

解:因为第一象限的点(a,b)在直线2x+3y-1=0上,所以2a+3b-1=0,a>0,b>0,即:2a+3b=1

四、通过消元法求最值

解:由函数f(x)=|lgx|,a>b>0,f(a)=f(b)可知

也可应用于求一些分式型函数的值域。

解:∵x∈R,当x=0时,f(x)=0

还可应用于一些简单不等式的证明。

当且仅当a=b=c时等号成立。

基本不等式应用广泛,但求最值时一定要注意以下两方面:

1.在应用基本不等式求最值时,要把握“一正二定三相等”,“一正”即各项都是正数,“二定”即和或积为定值,“三相等”即等号能取得,这些条件缺一不可。

2.当多次使用基本不等式时,一定要注意多次是否能保证等号成立,并且要注意等号的条件是否一致。在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法。

若不注意等号成立条件是否满足,容易犯错误,导致求解结果错误。

得f(x)的值域为[2,+∞)

图像:

我们看上例的解答:

又∵a=1 ∴f(x)在[2,+∞)上单调递增。

总之,弄清基本不等式与“对勾”函数的关系有助于我们更灵活解题,能分清基本不等式的应用条件,有助于理解函数的性质。

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