一类带有扩散项的p-Laplace方程的无穷多解

景新鹏

(山西大学 数学科学学院, 太原 030006)

本文主要考虑下列问题[1-10]：

(1)

当p=α=2时，方程(1)出现在许多物理模型中，可参考文献[2,5,7]以及相关文献。在这种情况下，Zhou等[10]证明了无穷多小解的存在性。对于带有p-Laplace平方扩散项Δp(u2)u的方程，Uberlandio[8]研究了下面问题：

(f1) 存在常数δ1>0，使得当|t|≤δ1时，对所有的x∈Ω，都有f(x,-t)=-f(x,t)；

注意到，问题(1)对应的自然泛函为

自然地考虑下列问题：

(2)

这里|·|∞表示L∞(Ω)上的范数。

以下给出本文的主要结果：

1 准备工作

本节给出一些注记和函数g的一些性质以及需要的定义和引理。

引理1[6]函数g具有下列性质：

①g∈C2(R)是唯一的，并且g在R上是奇函数和可逆函数；

② 0

③ |g(t)|≤|t|,t∈R；

在证明主要结论之前，需要给出亏格(genus)的定义以及下面的引理。

定义1[1]设E是一个实Banach空间，令Σ(E)={A:A是E中关于原点的对称闭集且A⊂E{0}}。设A∈Σ(E)。若A=∅，则规定A的亏格是0，记为γ(A)=0。若A≠∅，如果存在自然数n，使得存在连续的奇映射ψ∶A→Rn{0}，则这样n的最小者(记为n0)叫做A的亏格，记γ(A)=n0；如果不存在这样的n，则规定A的亏格是∞，记为γ(A)=∞。

引理2[4]设E是一个无穷维Banach空间，I∈C1(E,R)是一个偶泛函且I(0)=0。若：(I1) 泛函I下有界且满足PS条件；(I2) 对每一个n∈N={1,2,…}，都存在An∈Γn，使得supAnI<0，这里Γn={A∈Σ(E)∶γ(A)≥n}，那么下列结论之一成立：

① 泛函I存在1个临界点序列{un}，满足un→0,I(un)<0；

② 泛函I存在2个临界点序列{un}和{vn}，满足un≠0,un→0,I(un)=0,vn→v,v≠0,I(vn)<0,I(vn)→0。

值得注意的是，在引理2的条件下可以得到：泛函I存在一个非平凡的临界点序列{un}，满足un→0,I(un)≤0。

2 主要结论的证明

以下利用截断技巧证明定理1成立。

取l∈(0,2-1min{δ1,δ2,C})。定义偶函数η∈C1(R,[0,1])，满足η(t)=1,|t|≤l;η(t)=0,|t|≥2l。

考虑问题

(3)

若v是问题(3)的弱解且满足|v|∞≤l，则由引理1的③知，对任意的x∈Ω，都有|g(v(x))|≤l，从而η(g(v(x)))=1。因此，v是问题(2)的弱解，进而u=g(v)是问题(1)的弱解。

令

|h(x,t)|≤C0, (x,t)∈Ω×R

(4)

引理3 泛函I是强制的、下有界的，且满足PS条件。

(5)

其中C1=C0μ1是一个常数。因为p≥α≥2，所以泛函I是强制的、下有界的。

(6)

由式(4)和引理1的②有

结合→0,n→∞，因此由式(6)可得

(7)

||v||≤β|v|p

(8)

由(f3)知，存在常数δ3>0，使得当|t|≤δ3时，对所有的x∈Ω，都有

(9)

取l0∈(0,min{l,δ3})，断言存在常数τ>0，使得对任意的v∈En且||v||≤τ，都有

(10)

其中Ωv={x∈Ω:|g(v(x))|>l0}。

事实上，若式(10)不成立，则存在一个满足||vk||→0,k→∞的序列{vk}⊂En{0}，使得

令wk=vk|vk|p，则对所有的k∈N，都有

(11)

显然与式(11)矛盾，因此式(10)成立。

由式(9)知，当t∈[0,l0],x∈Ω时，有f(x,t)≥2pβpC-ptp-1，进而H(x,t)=F(x,t)≥2βpC-ptp。结合引理1的④以及l0

(12)

由条件(f1)可知，当|t|≤l0,x∈Ω时，H(x,t)关于第2变量t是偶的，因此通过式(8)、(10)、(12)，对任意的v∈En且||v||≤τ，都有

取ρ∈(0,τ],An={v∈En∶||v||=ρ}，有γ(An)=n以及supAnI≤(1-p)p-1ρp<0。

从式(4)和引理1的②可以得到：

结合以上2个不等式，令T→∞，有

(13)

则由式(13)得到

通过迭代，有

其中

因为

所以