巧用“三步法”解决充分必要条件问题

侯铁民

【关键词】 数学教学；充分必要条件问题；“三步法”；解决

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004—0463（2018）24—0126—01

充分必要条件是人教版高中数学选修1-1的内容，以选择题或填空题为主要题型，一般为容易题或中等题，是高考的高频考点，笔者根据多年的教学经验，做如下总结，以飨读者.

教材中这样定义：

如果A成立，那么B成立，即A？圯B，就称条件A是B成立的充分条件.也就是说，为使B成立，具备条件A就足够了.

如果B成立，那么A成立，即B？圯A，就称条件A是B成立的必要条件.也就是说，要使B成立，就必须使A成立.

如果既有A？圯B，又有B？圯A，就称A是B成立的充分而且必要条件，简称充要条件.

如果既有A B，又有B A，就称A是B成立的既不充分也不必要条件.

在教学中我们发现，学生对概念的理解还存在着很大的问题，特别是在利用上述知识解决具体问题时还不能应用自如.鉴于此，笔者探索出了如下的“三步法”判断充要条件问题，取得了较好的教学效果.

第一步：先找出命题的条件和结论.

第一类：条件前置式.如“A>B”是“sinA>sinB”成立的 条件，这里面条件是“A>B”，结论是“sinA>sinB”；

再如，设a、b∈R，则“a>b”是“a>|b|”的（ ）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件，这里条件是“a>b”，结论是“a>|b|”.

第二类：条件后置式.如，“数列an=aqn为递增数列”的一个充分不必要条件是（ ）

A.a<0，q<1 B.a<0，q<0 C.a>0，q>0 D. a<0，0

这里条件是选项之一，结论是数列为an=aqn递增数列；

再如，设a∈R，则使“a3>1”成立的必要不充分条件是

（ ）

A.a2>1 B.a2>2 C.a2>3 D.a2>4

这里，条件是选项之一，结论是“a3>1”.

第二步：判斷条件推出结论还是结论推出条件.切入点是引导学生领会小范围推出大范围的数学思想.这很好理解，如，我是中国人，但中国人不一定就是我.如x>2可以推出x>1，但反之就推不出.

第三步：如果条件推出结论，但结论推不出条件，条件就是结论的充分而不必要条件；如果条件推不出结论，但结论能推出条件，条件就是结论的必要而不充分条件；如果条件能推出结论，结论也能推出条件，条件就是结论的充要条件；如果条件推不出结论，结论也推不出条件，条件就是结论的既充分也不必要条件.

以下以高考真题说明上述“三步法”的具体应用.

例 （2016·安徽毛坦厂中学月考）若集合A={x|x2-5x+4<0}，B={x||x-a|<1}，则“a∈（2，3）”是“B？哿A”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：A={x|1

∵B？哿A，∴即2≤a≤3.

（注：本文系课题《家校联合促进高中生感恩教育的实践研究》的研究成果，课题立项号：GS[2018]GHB2091）

编辑：谢颖丽