与三角形“三线”有关问题的解法探究与感悟

钱丽谈 杨吉青

摘 要：本文从一道练习的解法探究总结归纳了与三角形中线、高线、角平分线有关问题的几个重要视角.同时，通过各个视角对同一问题的解法进行探究和分析，充分感受到“一题多解”对培养学生数学核心素养的促进作用.

关键词：三角形三线;解法探究;数学核心素养

二、解法归纳

对于同一道题，从不同的角度分析可以得到不同的解法.上述从不同的视角讨论了题目的8种不同的解法，通过对比，这8种不同解法的难易程度不同.

角平分线的性质定理在初中时已经经过了大量的训练，是学生最熟悉的定理之一，因此解法1和解法2是学生最容易上手的，是对定理的直接应用，对数学思维和数学运算要求比较低.

直角坐标系使几何研究又一次腾飞，当我们给直线插上方程的“翅膀”后，直线问题的研究就变得更加深入和透彻了.解法3、解法4、解法5都是以直线方程的视角来解题的，但是不同的解法对学生的思维要求是不同的.解法3是考虑了直线方程中倾斜角和斜率这两个表象之间的关系，属于浅层次的知识应用;解法4需要将角平分线定理与点关于直线的对称问题相结合，通过“数形结合”，用抽象的代数形式来解决直观的对称问题，需要学生具有较好的直观想象和数学抽象核心素养;解法5从轨迹的角度来求角平分线使得直线方程更加一般化，更加抽象了，特别是对关系式y=|4x+3y-12|5中绝对值内数值正负的判断，更需要学生具有良好的数学运算素养.

向量是沟通代数、几何与三角函数的工具.在平面几何中向量可以将很多问题代数化，三角形的“三线”都有自己的向量表示，因此三角形“三线”问题往往可以借助向量来解决.当然解法6首先要求学生能够联系向量来理解和刻画“角平分线”的内涵，这是一种对所学知识进行融会贯通的综合应用能力，对学生数学思维的灵活性和深刻性都有很高的要求.同样，解法7和解法8分别借助正余弦定理和三角形“四心”的性质来解题，都需要有较强的综合应用知识的能力，都属于深层次的知识应用.

三、探究感悟

一题多解是培养学生数学核心素养的一种有效的手段.一题多解首先需要学生能从题目所给的数量及图形之间的关系中寻找概念之间的联系，能从多角度认识一个问题，这个分析问题的过程就是一个数学抽象及数据分析的过程.当然，在寻找不同解法的过程中，直觀想象也会发挥重要的作用;其次，解题过程本身就是一个思维与运算相结合的过程，不同的解法主要体现在思维的灵活性和深刻性以及运算的难易性上，通过“一题多解”可以比较不同解法的优劣，探究好的解法究竟“优”在哪里？在这个解决问题和比较分析的过程中自然能潜移默化地提高学生的逻辑推理及数学运算核心素养的发展.

总之，一题多解的解法探究能促进学生学会用数学的眼光观察世界;对同一道题运用多样化的表征来实现一题多解能促进学生用数学的语言表达世界;一题多解之后对不同解法的比较归纳和总结能促进学生用数学的思维思考世界.