例谈几何画板及其教学应用

高长乐 张东海

摘 要 在基础教育中多媒体应用少、效果差。从基层一线的角度对信息技术的应用提出一些可行的办法，重点探讨对几何画板的应用，希望对促进基础教学进步有所帮助。

关键词 几何画板；3D几何画板；GeoGebra；多媒体；课件库

中图分类号：G633.63 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2018）15-0030-05

1 引言

笔者身在基层，深感基层教育之薄弱。基层教育的薄弱源于两个方面。

1）硬件环境差，校园建设落后，薪资福利低，这都是可以克服的，难以克服的问题是图书馆的书籍多为20世纪七八十年代购置，难以跟上潮流步伐；电脑、多媒体数量少、质量差，难以大规模推广使用。

2）教师观念陈旧，不能接受新事物，对外界的接触来源于偶然的外出开会或培训，不能有效掌握多媒体等新式教学手段，致使有限的新设备沦为摆设。

随着国家经济的发展，基层教育迎来一次发展的良机。在硬件上，学校购置大批新书籍，多媒体做到每班一台，电脑做到每个教师人手一台；在软件上，电脑改变了原来由中央到地方的层级结构，使得知识的传播扁平化、开放化。

2 几何画板发展现状

几何画板是美国Key Curriculum Press公司做的一款软件，1996年，该公司授权人民教育出版社发行，由国家教委向各学校推广使用。初级版本只能解决平面几何问题，当时的一些前辈因陋就简，经过巨大努力，做出一些较为成熟的例题，但是只能用于有限的演示，不能随课堂需要随时制作。

2008年，欧阳耀华老师发明3D几何画板，彻底解决了立体几何的动态展示问题。在这套工具问世之前，网上已经出现一些表现立体几何的工具，其中有美国保罗的3D工具和霍焰老师制作的立体几何平台，还有Infinte网友的3D平台。保罗的工具可以有中心投影和正投影两种显示方式，但是测量功能欠缺；霍焰老师的工具测量功能齐全，但是只能提供正投影的显示方式，立体感稍稍不足；Infinte网友的工具界面友好，另外具备表面的材质编辑功能和灯光功能，但是测量功能较少。这些工具各有所长，用法各异，但都是利用几何画板本身的自定义工具功能，通过计算用平面图像表现立体效果。以此为基础，欧阳老师制作了3D几何画板，彻底解决了立体几何的问题。

3D几何画板已经发明多年，据笔者所知，该软件在衡水地区几乎没有应用，即使是在几何画板初级版本的应用上，受硬件的影响，衡中也只是偶有应用，自衡中以下，各学校鲜有尝试。

现在，电脑和多媒体已经普及，硬件上得到保障，怎样让多媒体发挥出更大的价值，而不仅仅是作为一个大号的投影仪使用，这是亟待解决的问题。几何画板是国家推广、课本推荐，简便实用的一款软件，适合现阶段研究。

3 几何画板的优势

1）几何画板操作简便，大部分平面课件仅需几分钟即可完成。以人教版选修2-1中的2.2.1内的例3为例，如图1所示，设点A，B的坐标分别为（-5，0）（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-4/9，求点M的轨迹方程。

【构造过程】如图2所示：

①建坐标系，确定点A，点B；

②设参数t为直线AM倾斜角，求tan（t）的值作为直线

AM的斜率，求-4/9除以tan（t）的值作为直线BM的斜率；

③由点斜式输入直线AM，BM的函数解析式，构造两直线的交点M；

④构造参数t的动画按钮。

【使用方法】

①点击动画按钮，点M随参数t的变化而移动，其轨迹显示为以线段AB为长轴的椭圆；

②将-4/9改变为-1，再点击动画按钮，则点M的轨迹是以线段AB为直径的圆（图3）；

③将-1改变为-2，再点击动画按钮，则点M的轨迹是以线段AB为短轴的椭圆（图4）；

④将-2改变为2，再点击动画按钮，则点M的轨迹是以线段AB为实轴的双曲线（图5）。

这势必激发学生的好奇心：为什么斜率乘积的改变会引起轨迹的改变？这种改变中是否存在某种必然联系？

【推导过程】设两斜率乘积为m，则

所以，m>0時，点M的轨迹是以线段AB为实轴的双曲线；-1

2）有操作类按钮，对使用者的计算机软件技术水平要求不高，主要体现使用者的教学思想和教学水平。如对正方体的表面展开图的制作（图6），就大量应用了操作类按钮。

4 几何画板的劣势

1）代数计算能力不足。比如求定积分，只能依赖极限求和的原理用迭代的方法勉强求值；其他如求导数、求切线等，都必须由使用者手工计算（图7）。

2）表示曲面很困难。该软件使用网格表示曲面，计算量大，计算速度慢，图形效果差。如图8所示，构造长方体的外接球。

如果使用几何画板制作立体图形，则需要5.0以上的版本，或者在自定义工具中加装立体工具。

5 超级画板（GeoGebra）的发展现状

GeoGebra是佛罗里达州亚特兰大大学的数学教授Markus Hohenwarter所设计的，该软件最大的特点是开放性。软件完全免费，可根据使用需要进行修改，拥有世界性的交流平台，交互性强，自面世以来在世界各地使用者的努力下增加了很多功能，除包含代数区、几何区，还包含3D几何区、表格区和概率统计区。中国台湾地区的官长寿老师在软件的本土化及课例制作上做了很多工作。2011年5月25日，在北京师范大学数学科学研究院曹一鸣教授牵头下，中国GeoGebra研究院成立；其后，在天津师范大学和南京师范大学的努力下，天津GeoGebra研究院和南京GeoGebra研究院也相继成立。就目前来说，该软件在各师范院校应该是进行了一些推广，但是在广大教育一线并没有取得实际进展，更没有与一线教学相结合，形成适合本地教学的课件，在一线教学中形成生产力。

GeoGebra的优势

1）代数计算功能强大，能直接求积分、导数、切线、极值等（图9）。

2）表示曲面时运算量小，效果好（图10）。

GeoGebra的劣势

1）对计算机编程要求较高，程序语言要求苛刻（图11）。

2）水平旋转是自动的，垂直旋转是手动的，没有恢复原位的功能，在三视图或空间几何体的演示过程中存在一定的不便（图12）。

6 画板在其他学科的应用

画板软件在各科教学中有广阔的应用前景，如图13～

图16所示。

7 对各学校软件应用的建议

1）组织各科教师学习使用，确保人人会用。

2）由各科教师组织研讨会，结合实际需要，挑选各章节需要演示的重点例题。

3）由学校组织软件使用情况好的教师，通过网络收集和自主制作相结合，制作本校课件库。

4）在教学实践中以组为单位，统一备课，随时增减普通型课件，在教学一线产生实际生产力。

8 结语

本文对画板软件在教学一线的应用提出一些看法，希望和各位同仁切磋进步，解决基层教育中的一些实际问题。