发展核心素养 导航数列教学

李静

【摘要】 一个好的数学教学，教师需要理解数学的本质 [1] ，使得学生在学习数学和应用数学的过程中，能发展数学运算、数学建模、逻辑推理、数学抽象、直观想象、数据分析等数学核心素养，进而巧妙地切入，得心应手地解决问题.

【关键词】 数学核心素养;数列

数列是高中数学中难度比较大的一部分内容，学生在考试中失分较多，教学中要引导学生理解基础知识，积累数学基本活动经验，促进学生数学核心素养的不断提升，点亮解答数列问题的引航灯.

一、通过基本量的运算解决问题

任何时候，数学运算都是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.等差、等比数列的通项公式与前n项和公式都可以看成变量间的等量关系，在解决有关数列问题时，把已知信息按方程的思想进行运算处理是解数列问题的重要策略.

例1   等差数列{a n}的前n项和记为S n，已知a 4= - 1 3  ，S 8=-4，求数列的通项公式和前n项和公式.

分析  欲求等差数列的通项a n，前n项和S n，关键是求出首项a 1与公差d这两个基本量，将等差数列的通项公式和前n项和公式视为关于a 1与d的方程，问题便迎刃而解.

解  设等差数列的首项为a 1，公差为d，根据等差数列的通项公式和前n项和公式，有

a 4=a 1+3d=- 1 3 ，S 8=8a 1+ 8×7 2 d=-4.  解得 d=- 1 3 ，a 1= 2 3 .

∴a n=a 1+（n-1）d= 2 3 +（n-1） - 1 3  ，

即a n=1- n 3 ，

∴S n=na 1+ n（n-1） 2 d= 2 3 n+ n（n-1） 2  - 1 3  ，

∴S n=- 1 6 n2+ 5 6 n.

评析  与等差（比）数列有关的量有a 1，d（q），n，a n，S n五个.因等差（比）数列的通项公式及求和公式实际上给出了关于这五个量的两组独立条件，所以如果已知这五个量中的三个，或已知关于这五个量的另外三组独立条件，都可以利用解方程（组）的思想确定其他的量.

例2   有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数的和为37，中间两数的和为36，求这四个数.

分析  已知条件给出了所要求的四个数的等量关系，可利用方程组求解.

解法1  由前两个条件，设所要求的四个数分别为a-d，a，a+d， （a+d）2 a .根据后两个条件可得方程组：

（a-d）+ （a+d）2 a =37，a+（a+d）=36.  解得 a=16，d=4，  或 a= 81 4 ，d=- 9 2 .

所以所求的四个数分别为12，16，20，25或 99 4 ， 81 4 ， 63 4 ， 49 4 .

解法2  由前两个条件，设所要求的四个数分别为  2a q - a， a q ，a，aq.根据后两个条件可得方程组：

2a q -a+aq=37， a q +a=36.  解得 a=20，q= 5 4 ，  或 a= 63 4 ，q= 7 9 .

所以所求的四个数分别为12，16，20，25或 99 4 ， 81 4 ， 63 4 ， 49 4 .

评析  此题可设所求四个数分别为x，y，z，t，根据四个条件列方程，但求解方程较难.上述两种解法是利用等差数列、等比数列的构成规律巧设未知数，可见仔细分析题设条件中量与量的关系，以确定“运用哪些条件来设未知数，运用哪些条件来列方程”是解决这类问题的关键所在.

二、通过建立数学模型解决实际问题

现实生活中，很多问题都有数列的背景，如银行储蓄本息的计算，养老金的缴纳与享用问题，而从某种意义上讲，数列问题是递推关系的表现形式，故探求、构造和运用所给问题中的逻辑递推关系会成为解决一些问题的关键.

例3   容器中有浓度为m % 的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，这样进行10次后溶液的浓度是多少？

分析  由题意，每一次操作后溶液的浓度组成一个数列{a n}，且容易找出前后两次操作的递推关系a  n+1 = a n 1- b a   ，利用數列知识不难解决上述问题.

解  设每一次操作后溶液的浓度组成一个数列{a n}，容易计算每次操作后浓度减少了 b a ，则第一次操作后浓度为a 1= 1- b a  ·m % ，且a  n+1 =a n 1- b a  n·m % ，

所以数列{a n}是首项为a 1= 1- b a  ·m % ，公比为 q= 1- b a 的等比数列，

即a  10 = 1- b a   10 ·m % ，

故进行10次后溶液的浓度是a  10 = 1- b a   10 ·m % .

评析  等差、等比数列的定义就是根据数列的递推关系给出的，选择和应用恰当的函数模型建立数列的递推关系，并设法将问题转化为等差或等比数列问题是解决数列应用问题的重要方法.

只有不断感悟数学思想，积累思维的经验，形成和发展数学核心素养，才能提高数列教学的有效性.数学教师应当谨记：促使学生能从数学的视角提出问题，用数学的思想分析问题，培养学生的数学思维习惯，这才是好的数学教育. [2]

【参考文献】

[1][2]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.