高中函数最值问题的几种求解方法

张雪

【摘要】 高中函数的最值问题，一直都是高中数学课程的重要组成部分，不仅是数学教学的重点，同时也是高考重要的考点.但是因为最值问题涉及的范围比较广，解题方法也比较灵活多变，因此，要求学生一定要有扎实的数学基础功和良好的数学思维能力.本文主要对函数最值问题的解题方法进行探讨和总结.

【关键词】 高中;函数;最值;求解方法

一、定义法

利用定义求解函数最值的问题时，其中重要的一点就是要把握好定义的内涵，然后准确地加以运用，需要特别注意的是函数一定有值域，但是不一定有最值.

例1   设函数f（x）的定义域为 R ，下列命题中对的是：

（1）如果存在一个常数p，使得对任意x∈ R ，有f（x）≥p，那么p是函数f（x）的最小值;（2）如果存在x o∈ R ，使得对任意的x∈ R ，有f（x）≥f（x o），则f（x o）是函数f（x）的最小值.

解  由函数的最小值定义可知，（1）是假命题：条件虽然满足了最小值定义中的任意性，但是不满足存在性，所以错误.（2）正确

二、配方法

配方法是求二次函数最值的一个基本方法，例如， F（x）= af2（x）+bf（x）+c函数的最值问题，可以用配方法解决，但是要注意自变量的取值范围和对称轴与区间的相对位置关系.

例2   已知函数f（x）=x2+8x+4，求其最值.

解  原式=（x+4）2-16+4=（x+4）2-12，

对称轴是直线x=-4，开口向上，顶点（-4，-12）.当x=-4时，函数有最小值-12.

三、换元法

换元法的主旨就是通过引入一个或者几个新的变量，替换掉原来的某些变量或代数式，使问题更易于解决的一种方法.

例3   求函数y=x+ 1-2x 的最值.

解  设t= 1-2x （t≥0），则由原式得y=- 1 2 （t-1）2+1≤1.

当且仅当t=1，即x=0时取等号.故函数的最大值为1，无最小值.

四、不等式法

求解函数最值，还有一种比较常用的方法，就是不等式法.这种方法主要是通过利用均值不等式以及其变形公式来解决函数的最值问题.常用的基本不等式为：a2+b2≥2ab（a，b为实数）; a+b 2 ≥ ab （a≥0，b≥0）;  a+b 2  2≤ a2+b2 2 （a，b为实数）.

例4   设x，y，z为正实数，x-2y+3z=0，求 y2 xz 的最小值.

解  因为x-2y+3z=0，所以y= x+3z 2 ，

所以 y2 xz = x2+9z2+6xz 4xz .

又x，z為正实数，所以由基本不等式得 y2 xz ≥ 6zx+6xz 4xz =3，当且仅当x=3z时取等号.故 y2 xz 的最小值为3.

五、函数单调性法

函数单调性法是通过确定已知函数在给定区间的单调性，依据其单调性求函数的最大值或最小值.

例5   设a>1，函数f（x）=log ax在区间[a，2a]上的最小值与最大值之差为 1 2 ，求a的值.

解  因为a>1，则函数f（x）=log ax在区间[a，2a]上是增函数，所以函数在区间[a，2a]上的最大值与最小值分别是log a2a，log aa=1.又因为它们的差为 1 2 ，所以a=4.

六、导数法

设函数f（x）在区间[a，b]上连续，在区间（a，b）内可导，则f（x）在[a，b]上的最大值和最小值应为f（x）在（a，b）内的各极值与f（a），f（b）中的最大值和最小值.

例6   函数f（x）=x3-3x+2在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是多少？

解  f′（x）=3x2-3，令f′（x）=0，得x=-1.

又f（-3）=-16，f（-1）=4，f（0）=2.通过比较得 f（x） 的最大值为4，最小值为-16.

七、判别式法

判别式法指的是把函数转化成x的二次方程F（x，y）=0，然后通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而得到函数最值.判别式法多用于求形如y= ax2+bx+c dx2+ex+f （a，b不同时为0）的分式函数的最值.

例7   求函数y= x2-3x+4 x2+3x+4 的最大值和最小值分别是多少.

解  因为x2+3x+4=0的判别式Δ 1=32-4×1×4=-7<0，所以x2+3x+4>0对一切x∈ R 均成立.所以函数的定义域为 R .

所以函数表达式可化为（y-1）x2+（3y+3）x+4y-4=0.

当y=1时，x=0;

当y≠1时，由x∈ R ，上面的一元二次方程必有实根，

所以Δ=（3y+3）2-4（y-1）（4y-4）≥0，

解得 1 7 ≤y≤7（y≠1）.

综上，函数的最大值为7，最小值为 1 7 .

【参考文献】

[1]吴晓刚.由不等式的基本性质求最值[J].数理天地：初中版，2012（5）：8.

[2]翁在萍.浅析求函数最值的方法[J].时代报告：学术版，2012（8）：113.

[3]何清仕.浅谈高中数学教学中函数定义域的活用[J].大观周刊，2012（26）：193-194.

[4]李炜.学习导数不可忽略的几个问题[J].基础教育论坛，2012（2）：54-55.

[5]李继荣.求参数取值范围的常用思想方法[J].中学数学教学，2012（2）：33-36.