模型思想在聋校数学教学中的渗透

钱贤纱

摘要：“模型思想”是《数学课程标准（2011版）》中的十大核心概念之一。渗透模型思想，能使听障学生更好地理解问题的本质，感受解决问题的快乐，进而愿意学习，乐于思考。教学中，构建模型，凸显知识的本质属性，使知识理解入木三分;运用模型，探寻问题解决的程序化操作，使思考过程有章可循;整合模型，搭建知识间的网络化结构，使知识习得融会贯通。

关键词：模型思想;聋校;数学

数学家华罗庚说：要打好数学基础有两个必经过程——先学习、接受“由薄到厚”，再消化、提炼“由厚到薄”。其中，“由薄到厚”是知识的积累，“由厚到薄”是方法的提炼;没有知识积累的教学是没有根基的，没有方法提炼的教学则是没有深度的。新课标三维教学目标的设定，要求数学教学不仅要关注知识与技能的传授，更要关注思想方法的渗透。东北师范大学史宁中教授认为，数学思想可以归纳为三个方面：抽象、推理和模型。“模型思想”是《数学课程标准（2011版）》十大核心概念之一，新课标首次提出：数学课程中应当注重发展学生的模型思想。那么，模型思想在聋校数学教学中有怎样的教育价值？聋校数学教学中如何引导学生感悟并发展模型思想？对于这些问题的探索与研究必将改变聋校数学教学方式。

模型思想与数学模型

新课程标准指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。孔凡哲认为：数学模型，是指根据问题实际和研究对象的特点，为了描述和研究客观现象的运动变化规律，运用数学抽象、概括等方法而形成的，用以反映其内部因素之间的空间关系与数量关系的数学结构表达式，包括数学公式、逻辑准则、具体算法和数学概念。费岭峰认为：数学模型思想是以数学概念和符号刻画数学为内容的，在扬弃一切非本质属性的同时，逐步抽象、提炼出数学结构的思维过程。可以说，模型思想的本质在于抓住问题的核心信息，提炼、抽象，并运用已有经验解决问题;培养模型思想的关键在于能够敏锐的发现一类问题的共同特点，紧紧抓住事物的本质属性解决问题。

基于听障学生的教学分析

任何教学行为都是作用于教学对象的活动，仔细分析教学对象的特点，才能更好地指导教学活动。听障学生由于生理特点的特异性，其数学學习特点与健听学生有较大差异，主要体现在以下几个方面：

文本理解能力较弱 研究表明：听力损失带来的最大问题是语言沟通问题。聋人在阅读中更多地依靠视觉信息。听障儿童整体阅读水平明显落后于普通儿童，而且年龄越大，差距越明显，大多数中学聋生的阅读水平，只能达到普通小学生中、低年级的水平。文本理解能力弱，直接影响学生对数学概念的理解与掌握。

抽象思维能力较弱 听觉障碍儿童的概念体系中，具体概念发展较快，抽象概念发展迟缓，他们的思维更多受到事物外在形象影响，对事物的本质特征和内在联系缺乏深入理解。通常到青少年晚期，他们的抽象思维才逐渐占据主要地位。抽象思维能力较弱，使得聋生在解决数学问题中养成重模仿，轻思考的习惯。

知识的网络化构建能力较弱 听觉障碍儿童由于思维能力的限制，对知识的梳理和整合能力较弱，看待问题只关注表面现象，对于深层次的原因缺乏探究的欲望，对知识的理解往往浮于表面，很少关注知识的本质与内在联系。

综合上述特点，让学习过程为听障学生理解，促使他们会思考、爱思考的教学活动，才能给聋校的数学教学发展带来动力。在教学中渗透模型思想，将由现实生活中提炼的概念、性质，用简洁的符号语言加以概括，简化成一个个数学模型，再利用这些数学模型去解决一些简单的实际问题，并能将一个问题的解决，拓展为一类问题的解决，使听障学生更好地理解问题的本质，感受解决问题的快乐，进而愿意学习，乐于思考。

模型思想的尝试

知识的习得是一个长期的、循序渐进、螺旋上升的过程，思想方法的获得同样如此。教学中有意识地渗透模型思想，将思想方法的渗透蕴含在知识的学习过程中，这样获得的思想才会鲜活、生动，富有生命力。

构建模型，凸显知识的本质属性，使知识理解入木三分 数学的概念、公式、性质、法则，是对现实生活现象的高度概括。数学中的一系列公式、法则都可以看看作一个个数学模型。数学学习过程就是数学模型的构建过程。数学模型的构建过程中要注意去伪存真，凸显知识的本质属性。例如，基本的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间、工作总量=工作效率×工作时间。在学习整数的计算时，这些基本的数量关系就已经渗透在教学中，后续学习分数、小数、有理数、方程、不等式等一系列知识后，都会安排运用这些数量关系解决实际问题的题目。不同阶段的题目，看似纷繁复杂，实际都是对这些基本数量关系的变式运用。只要对基本的数量关系把握清晰，认真梳理，就能找到对应关系解决问题。再如整式的乘法中的乘法公式，以平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2为例，公式中的a、b可以表示数，也可以表示一个整体。深入理解这个公式可以发现，（a+b）（a-b）中，a表示的是前后两个式子中相同分部分，b表示的是前后两个式子中符号相反的部分。当两个式子相乘，且这两个式子中有部分相同，有部分符号相反时，它就符合平方差公式，经过适当的变形就能化成平方差公式的形式去解决。模型就像是固定轨道上的一节空车厢，起点固定，终点也不变，只要在运输中关注每种货物本身的特点，辅以相应安全措施，就能将货物安全运抵终点。教学过程中，多做思想层面的提炼，有意识地渗透模型的思想，让学生可以透过模型看清事物的本质属性，将有利于学生对知识的掌握。

运用模型，探寻问题解决的程序化操作，使思考过程有章可循 构建模型是从实际问题中提炼数学模型的过程，运用模型则是通过模型解决问题的过程。学习模型思想的一个重要意义就是能够运用模型解决一系列的问题。数学中，这类构建模型并运用模型解决问题的过程尤其明显。例如，两角和与差的正切公式有两组：tan（α+β）= ;tan（α-β）=          。这两组公式常用来解决一些相关的求值、化简、证明类的题目。常见题型中，有一些是直接运用公式代入就能解决的，这类问题比较简单;另一些则需要根据已知条件分析后选择针对性的公式才能解决。①证明：                                。

②化简： 。听障学生初次接触到这类题型时，往往比较迷惘，不知道该从何入手。教学中，引导学生分析两个公式的特点：tan（α+β）=         ，与tanα+tanβ与tanαtanβ这两个式子有关;tan（α-β）=        ，与tanα-tanβ与tanαtanβ这两个式子有关;再观察①证明，题中含有tan95°+tan25°与tan95°tan25°这两个式子，因此考虑由tan（95°+25°）切入，得tan（95°+25°）=            ，即- 3=          ，在此基础上进行一些恒等变换，即可证明。类似的，观察②化简，题中含有tan95°-tan35°与tan95°tan35°这两个式子，则考虑由tan（95°-25°）切入，可得tan95°-tan35°= 3-tan95°tan35°，将其代入原式中，即可化简。紧扣模型特点，能够在解决问题中快速的确定所需模型，从而找到解决问题的切入口。在运用模型解决问题的过程中，通过由浅入深地设计例题，在循序渐进中引导学生根据问题的本质属性运用模型，有理有据地解决问题，不仅能够快速判断需要使用的数学模型，而且能够使思维过程条理清晰、有章可循。

整合模型，搭建知识间的网络化结构，使知识习得融会贯通 数学知识本身是环环相扣的。学习数学过程中如果缺乏统筹的眼光，知识点将会以散乱的形式出现在眼前，不利于学生的理解与掌握。只有当知识点以网络化的形式呈现时，才能便于学生理解与记忆。关注模型间的联系，能使知识的理解更加容易，知识的记忆更加深刻。例如：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）、一元二次不等式ax2+bx+c〉0（a≠0）是从三类不同现实情境中提炼出来的数学模型。三者分属三个不同章节，但三者的实质是从不同的角度看待同一个函数：二次函数为函数的一般状态;一元二次方程为函数的瞬时状态;一元二次不等式为函数在特定范围内的状态。通过将不同状态的三种模型整合，可以大大减少这三类问题中需要记忆的知识点的数量，即使某一知识点发生遗忘，网络化的知识结构也会增加记忆提取的线索，提高回忆成功的概率。

在整合模型的过程中，充分感受不同模型之间的联系与区别，多分析、多推断、多做由此及彼的网络化构建，能使知识的掌握事半功倍。

模型思想渗透应关注的问题

模型思想的滲透是一个长期的润物无声过程。在这个过程中要注意以下几点：一是运用模型思想解决数学问题，关键在于构建模型，价值在于运用模型思想解决实际问题。聋校模型思想的渗透要从简单模型开始，让学生理解与记忆一些基本模型，然后通过变式练习，拓展学生对基本模型的本质属性的认识，将其内化为自身的知识储备，再次遇到相关问题时，能够有意识地运用相关模型去解决。二是模型思想与整体思想、转化思想相辅相成。单一模型的问题往往比较简单，但实际问题往往是以基本模型的变式出现的。解决问题的过程中，把问题中的某些部分看成一个整体，就可能把一个复杂问题转化成一个熟悉的简单模型，再将这样的多个整体逐个击破，问题可能就迎刃而解了。三是学习模型思想的意义不在于掌握多少种模型，而在于能够运用模型思想解决实际问题。基于听障学生的学习特点，教学中应重点关注基本模型的构建与应用，适当降低运算数据的复杂程度，以便凸显思想方法。只有熟练掌握了基本模型，才有可能举一反三、灵活运用。

结束语

模型思想旨在搭建一个高度概括、程序化的平台，用数学的语言对纷繁的世界加以整理，使其更具条理性，更易于被解读。聋校数学教学中，模型思想的渗透虽然只是初步的、浅显的，但它能够为学生打开一扇思维活动的大门，使听障学生感受更多解决问题的方式方法。

参考文献

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[7][美]G·波利亚等.怎样解题——数学思维的新方法[M].涂泓，冯承天 译.上海：上海科技教育出版社，2007.

（作者单位：江苏省无锡市特殊教育学校）