导数在高中数学解题应用中的策略探究

张艳玲

【摘要】在高中数学解题的过程中经常会利用导数知识。导数知识能够解决各种数学问题，例如我们常见的不等式或者是函数。学生要想掌握更多的解题技巧，首先要掌握导数知识，能够合理地应用导数，只有这样才能提高自己的解题效率。在具体解决问题的过程中，先复习一遍导数知识，这样在解题的过程中思维就会更加灵活。

【关键词】数学；解题；策略

导数能够连接初等数学以及高等数学，是—种比较简单的解题方式。尤其是高中试题，采用常规的方式很難解决，而且过程会花费大量的精力，一个不小心就会出错误，如果利用导数，就能快速解决问题。本文将对导数在高中数学解题应用中的策略进行分析，并提出一些建议。

一、在高中数学解题中应用导数的价值

上过高中的人都知道，导数是高中数学教学的重点，也是学习微积分必不可少的基础概念。如果一个学生没有学好导数，那么这个学生就需要花费更多的时间解题，数学成绩也不会很理想。高中数学对一个学生来说十分重要，而导数作为数学的重点，是学生必须要掌握的知识点。而且大多数高中数学题都需要解题，所以掌握好的解题技巧，是取得数学好成绩必不可少的办法。在解答数学题的过程中，记好某个公式、某个概念并不是最重要的，还要合理应用这些公式，在解答的过程中，灵活思维，掌握正确的解题方法才是最重要的。在高中数学解题的过程中应用导数，能够调动学生的思维逻辑，让学生从多个角度来解答数学题。导数既普遍又重要，能够帮助学生快速理解解题技巧，并合理应用这些解题技巧，这样无论多么复杂的数学题，解答起来也就不那么困难了，学生的数学成绩就会提高很快。所以导数在解决高中数学题的过程中有着非常重要的地位。

二、导数在高中数学解题中的具体应用分析

1.导数在求极值中的应用

高中数学题中，函数问题比较普遍，其中有一些问题，也就是求取最大值或者是最小值的函数问题，学生十分容易出错，而且这些题也是高考的必考题。我们如果采取传统的解题方式，也能解决极值问题，但是如果利用导数，掌握一定的解题技巧，那么这种方法能够解决绝大部分的极值问题，所以我们更应该重视导数知识点的学习。我们以二次函数中求极值为例子，比较普遍的就是给出一个函数，给出一个区间，求最大值或者是最小值，这是近几年高考的热点。一些学生会采用常规的解题思路来解决问题，也就是数形结合，这种方式能够解决较为简单的函数问题，如果问题较为复杂，那么就要花费更多的时间，解决起来也比较困难。而利用导数，就能快速解决这些问题。我们根据导数的定义——无论是最大还是最小，该点的变化斜率都为零，找出这个区间内求导为零的点，之后代入原函数，比较这两个点的大，就能知道这一点是最大值还是最小值，这样就能解决函数问题了。

例1：已知f（x）=ln（1+x）-x，求解出最大值，那么要找到函数的定义域，1+x>0，即x∈（-1，∞），经过求导之后，我们可以得到f′（z）l/（1+x）-1，只要令1/（1+x）-1=0，即可求得极值点x，在简单地变换之后，我们可以解出x=0，再将0代入原函数中，得f（0）=0。

2.导数知识在曲线切线问题解答中应用

在解决几何问题的过程中，我们也经常利用导数来解决问题，这种方式能够节省解题的步骤，尽可能地减少出错，提高解题的效率。一般情况下，我们在求取切线题目的过程中经常会利用导数知识。例如解决切线方程，代入导数知识后，就能判断出对坐标点，之后再根据基本的求解方式，得出已知曲线C：y=f（x），曲线经过点M（x1，y1），求过点M的切线方程。在解决这些问题的过程中利用了导数知识的概念和性质。在解决这个问题的过程中，首先，要判断点M是否在曲线上，之后进行分类讨论，尽可能利用f′（x）的基本性质解决问题，无论解决哪种问题，首先要经过讨论，探讨出可能会出现的情况，之后再进行具体分析，最终得出切线方程。

例2：有直线P：x+4y-4 0，有曲线C：y=x4，其中直线P与曲线C的一条切线N相互垂直，求曲线的切线N的方程。

解析：我们首先对题目进行了仔细分析，能够了解到在求解的过程中可以利用导数知识。分析完题目之后，通过题目得出三个条件，分别是x+4y-4=0（直线），y=x4（曲线），切线Ⅳ（与曲线相切，并与直线垂直），我们提炼出有价值的条件，求出直线P的斜率，由于P与N垂直，由此求出直线Ⅳ的斜率，之后再计算出这条曲线的导函数，设置具体值，计算出和曲线相切部分的切点，最终得出方程。具体过程如下：y=x4的求导结果为y′=4x3，直线P的斜率为-14，由于P与N垂直，两者斜率相乘得-1，由此可得切线Ⅳ的斜率=4，令y′=4x3=4，即可求出x=1，切线与曲线的切点坐标为（1，1），确定了切点的坐标与切线的斜率，即可求出切线方程为y=4x-3。

在解决切线方程问题的过程中，借助导数知识得到切点，之后利用切点和斜率解决最终的问题。这个过程要求循序渐进，一个环节为后一个环节做好铺垫，最终计算整个求解过程，得到结果。利用导数知识来求解问题能够开拓更多的思路，创造更多的解题空间。

3.重视导数的实际应用

导数不仅能够应用在解答数学问题上，还能解决现实生活的问题。所以，高考试题的考查更偏向于用导数来解决实际生活问题。例如我{门比较常见的优化问题、解决成本问题、求出最短路径等等，在解决这些问题的过程中，应用导数知识就能快速求得答案。具体的步骤如下：仔细阅读仔细审题，构建数学模型，之后合理设置函数变量，寻找相关的关系式，得到结果，检验结果是否正确，是否符合实际。

例3，假设一个工厂在生产产品的过程中，成本为a、产量为M，那么成本和产量的关系式设置为A=100+4m，最终的售价为c，而售价格产量也存在关系式，c=25-m，那么为了获取最大的利润值，产量M多少最合适？

解析：收入减去成本得到利润，也就是R-A=l，而最终的收入，则是产量和价格二者的乘积，那么，我们就能得出最终的关系式，之后再代入导数知识来解决问题得到答案：

因为成本A与产量m的函数关系式为A=100+4m，价格c与产量m的函数关系式为c=25-1/8m，所以利润L=（25-1/8m）m-（100+4m）=-1/8m²+21m-100。

和公式相对应的抛物线开口向下，那么，我们得出M为84时，总利润值是最大的结论。在解决上述问题的时候，对整个题目进行分析，从抽象的知识点中获取数学知识，利用一定的表达式，代入导数进行求导，最终得到了答案。

三、结语

在高中阶段，我们要掌握导数最基本的定义以及最基本的公式，并且能够合理地运用这些公式，只有这样在解决较为复杂的问题时，我们才能在第一时间寻找最佳的解决方案，进而简化解题步骤，提高做题的正确率。