简析如何在物理解题中运用“微元法”

李伟成

摘要：本文结合例题简要探究了“微元法”在物理解题中的应用，希望能给我们的物理解题教学带来帮助。

关键词：“微元法”；物理解题；应用

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）09-0125

“微元法”是分析、解决物理问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。利用“微元法”处理问题时，需将复杂的物理过程分解为众多微小的、遵循相同规律的“元过程”（微元），从而将非理想物理模型变成理想物理模型，然后利用必要的数学和物理方法处理“元过程”（微元），从而解决问题。下面，笔者仅就“微元法”在物理解题中的应用，赘述肤浅认识。

一、“微元法”解题的一般步骤

1. 选取微元用以量化元事物或元过程；2. 视元事物或元过程为恒定，运用相应的规律给出待求量对应的微元表达式；3. 在微元表达式的定义域内施以叠加演算，进而求得待求量；

二、“微元法”在解题中的应用

1. 直接以微元为研究对象解题

对于连续变化过程中某个量，以全过程为研究对象难以求解，可选取微元为研究对象解题。

例1. 高压采煤水枪出口的横截面积为s，水的射速为v，射到煤层上后水柱的速度变为零，若水的密度为ρ，求水对煤的冲力。

【解析】用微元法分析，取冲到墙上的一小段水柱为研究对象，设这一小段水的质量为Δm，则Δm=ρvΔts。取水平向左为正方向，由动量定理得：FΔt=P′-P=Δmv=ρvΔtsvF=ρv2s由牛顿第三定律，水对煤层的冲力F′=-F=-ρv2s，其中负号表示方向水平向右。

例2. 阴极射线管中，由阴极K产生的热电子（初速为零）经电压U 加速后，打在阳极A 板上。若A板附近单位体积内的电子数为N，电子打到A板上即被吸收。求电子打击A板过程中A板所受的压强。（已知电子的电量为e、质量为m）

【解析】用微分法分析：

在时间Δt内打在A板S面积上的电子数：N′=N（νΔt）S①

动能定理：eU=■mν2②

动量定理：PSΔt=N′mν③

由①②③得：P=2NeU

2. 取微元为研究对象再求和解题

功是力在位移上的积累，冲量是力对时间的积累，位移是速度对时间的积累，电量是电流对时间的积累……一些习题中常需要求解一个变化量对另一个量的积累。解这类问题，微元法是常用方法。取微元，再结合微元的物理意义，运用数学工具（如运用图象面积）求得微元之和，常可破解难点。

例3. 如图所示，顶角θ=45°的金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定的速度v0沿导轨MON向右运动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r。导体棒与导轨的接触点为a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。t=0时，导体棒位于顶角O处，若在时

刻将外力撤去，求导体棒最终在导轨上静止时的坐标x。

【解析】导体棒做变加速运动，运动过程中导体棒有效长度、受力、速度都在不断变化，故利用牛顿定律和运动学公式求位移，显然不行。能否取微元求和，通过求面积来求位移？取足够短时间微元Δt，在Δt内导体棒的运动可视为匀速运动，导体棒有效长度、电流均视为恒定。

撤去外力后，设任意时刻t导体棒的坐标为x，速度为v，有效长度为l，Δt内通过距离Δx，则在t～t+Δt时间内，由动量定理得

BllΔt=mΔν

■Δs=mΔν （极短时间内：lνΔt=lΔx=Δs）

■■Δs=■mΔν

■■Δs=mν0

导体棒扫过面积

Δs=■=■（x0=ν0t0）

x=■

（作者單位：广西梧州市第十五中学 543000）endprint