几种常用求积分方法以及特别说明

摘要：导数是积分学的基础，积分学是导数的延伸，积分知识的学习是高等数学学习的重点也是难点。本文介绍了求积分的几种常用方法。首先介绍了积分的起源和发展历程，以及积分的基本思想和积分的本质。然后介绍了直接积分法，介绍了直接积分法的定义和解题方法，并进行举例说明。接下来又介绍换元积分法，其中换元积分法又分为第一换元积分法也即凑微分法和第二换元积分法即去根号法，去根号法又分为根式代换和三角代换。每一种换元积分法都是先给读者介绍方法的适用范围，然后又介绍方法如何运用到做题过程中，并且都举出了典型例题帮助读者理解运用。最后介绍了分部积分法，先介绍分部积分法的前提条件，然后介绍选u原则和常用公式，最后举出例题说明分部积分公式用法，并且还举出运用分部积分法的一种特殊函数类型，给出了详细解题过程。本文详细给出了几种常用解积分的方法，对于读者理解积分的意义以及掌握积分解题方法有非常重要的意义。

关键词：积分；直接积分法；换元积分法；根式代换；分部积分法；三角代换

积分学是微积分的重点内容，积分分为不定积分和定积分，积分学要以导数知识为基础。积分学主要研究积分的定义、性质、计算方法等，不定积分和定积分对于自然科学和技术科学都有着十分重要的意义。蕴含在定积分概念中的基本思想是通過有限逼近无限。极限方法是积分学理论的基础方法。早在文字形成之前，数的思想已经在人们的生活中逐渐形成，

积分学重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想方法（或思维模式），即用无限的过程处理有限的问题，用离散的过程逼近连续，以直代曲，局部线性化等。定积分的概念及微积分基本公式，不仅是数学史上，而且是科学思想史上的重要创举。定积分的思想即“化整为零→近似代替→积零为整→取极限”。定积分这种“和的极限”的思想，在高等数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的，教材通过对曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题的研究，运用极限方法，分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程，使定积分的概念逐步发展建立起来。定积分概念的理论基础是极限。定积分的定义源于在实际生活中一些不规则图形的面积求法，规则图形可以通过公式或者割补法等求得，但是对于一些不规则图形，比如中华人民共和国地图，天池等的面积的求法问题一直困扰着人们，人们也一直在探索这个问题。定积分可以通过曲边梯形的面积进而得出其他不规则图形面积。曲边梯形面积可以通过分割，把曲边梯形分割成n个小曲边梯形，然后用矩形面积近似代替小曲边梯形面积，接下来把n个小矩形面积求和，最后还遗留一个问题，就是如何消除n个小曲边梯形面积的和与大曲边梯形面积之间的误差，这个误差的消除就是让分割无限细，就是在区间中插入无穷多个分点，分割越细，小曲边梯形面积和小矩形面积之间的误差就越来越小。依照这样的方法就消除了n个小曲边梯形面积的和与大曲边梯形面积之间的误差。定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。公元263年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。在历史上，积分观念的形成比微分要早。但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿——莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。

四、 小结

本文介绍了求积分的几种常用方法。首先介绍了积分的起源和发展历程，然后介绍了直接积分法，介绍了直接积分法的定义和解题方法，并进行举例说明。接下来又介绍换元积分法，其中换元积分法又分为第一换元积分法也即凑微分法和第二换元积分法即去根号法，去根号法又分为根式代换和三角代换。每一种换元积分法都是先给读者介绍方法的适用范围，然后又介绍方法如何运用到做题过程中，并且都举出了典型例题帮助读者理解运用。最后介绍了分部积分法，先介绍分部积分法的前提条件，然后介绍选u原则和常用公式，最后举出例题说明分部积分公式用法，并且还举出运用分部积分法的一种特殊函数类型，给出了详细解题过程。本文详细给出了几种常用解积分的方法，对于读者理解积分的意义以及掌握积分解题方法有非常重要的意义。最后是本文小结。

参考文献：

[1]伍胜建.数学分析[M].北京：北京大学出版社，2009，156.

[2]李成章，黄玉民.数学分析[M].北京：科学出版社，2017，96.

[3]林源渠.高等数学精选习题解析[M].北京：北京大学出版社，2011，69.

[4]同济大学应用数学系.高等数学习题集[M].北京：高等教育出版社，2003，121.

[5]刘忠东.高等数学[M].重庆：重庆大学出版社，2015，151.

作者简介：赵晓艳，河南省平顶山市，河南质量工程职业学院基础教学部。endprint