直线参数方程在圆锥曲线中的应用

蔡云+丁忠华

直线与圆锥曲线的关系是高考解析几何考查的重要内容，突出表现为直线和圆锥曲线的交点、弦长、轨迹、定值、最值及取值范围等问题，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以压轴题出现，因此直线与圆锥曲线的问题往往综合性强、计算能力要求高、难度大，是学生们学习上的难点之一，但同时也是高考的重点之一.如何突破难点呢？巧用直线参数方程中参数的几何意义，会有意想不到的收获.举例如下：

（2016年四川卷，20）

（本小題满分13分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l'平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

解析 （Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）（c>0），则c2+b2=a2.

由题意，△F1F2C为直角三角形.

∴|F1F2|2=|F1C|2+|F2C|2，解得b=c=22a，

∴E：x22b2+y2b2=1.

代入l：y=-x+3，可得3x2-12x+18-2b2=0.

l与椭圆E只有一个交点，

则Δ=122-4·3（18-2b2）=0，解得b2=3.

∴E：x26+y23=1.

由b2=3，解得x=2，则y=-x+3=1，

所以T的坐标为（2，1）.

（Ⅱ）由已知条件可设直线l'的方程为y=12x+m（m≠0），

由方程组y=12x+m，y=-x+3， 可得x=2-2m3，y=1+2m3.

所以P点坐标为2-2m3，1+2m3，|PT|2=89m2.

设点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）.

由方程组x26+y23=1，y=12x+m，

可得3x2+4mx+（4m2-12）=0.（）

方程（）的判别式为Δ=16（9-2m2），

由Δ>0，解得-322

由（）得x1+x2=-4m3，x1x2=4m2-123.

所以|PA|=2-2m3-x12+1+2m3-y12

=522-2m3-x1，

同理，|PB|=522-2m3-x2.

所以，|PA|·|PB|=542-2m3-x12-2m3-x2

=542-2m32-2-2m3（x1+x2）+x1x2

=542-2m32-2-2m3-4m3+4m2-123

=109m2.

故存在常数λ=45，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.

方法2 使用直线的参数方程的几何意义.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知kOT=12，设直线l′的方程为y=12x+b，

由方程组y=12x+b，y=-x+3， 解得P2-23b，23b+1.

设直线l′的参数方程为x=2-2b3+255t，y=2b3+1+55，（t为参数）

将直线l′的参数方程代入椭圆方程x26+y23=1中，

整理可得65t2+1255t+129b2=0.

设两根为tA，tB，则有tA·tB=109b2.

而|PT|2=2-23b-22+23b+1-12.

|PA|·|PB|=|tA|·|tB|=|tA·tB|=109b2.

∵|PT|2=λ|PA|·|PB|.

∴λ=|PT|2|PA|·|PB|=89b2109b2=45.故存在这样的λ.

通过上述实例可以看出，合理利用直线参数方程中参数的几何意义，对于解决直线与圆锥曲线的问题可以起到简化计算的作用，从而降低该类题目的难度.

【参考文献】

[1]陈良敏.圆锥曲线切线方程及简单运用[J].数学教学研究，2008（S2）：49-51.

[2]姜坤崇.圆锥曲线与斜率有关的一个性质[J].中学数学杂志，2010（3）：26-27.

[3]陈鸿斌.有关圆锥曲线的焦切距的几个美妙性质[J].中学数学研究，2011（8）：27-28.

[4]李世臣.圆锥曲线的一组美妙性质[J].河北理科教学研究，2011（2）：8-10.