如何求解高中数学函数最值问题

高静源+高丽萍

【摘要】函数是高考中重点考查的知识点之一，也是我们高中学生主要学习的内容，要想获得高分数就需要掌握函数解题方法.一直以来，函数最值问题是高考重点考查内容，所以如何求解函数最值就成为我们最关注的问题.基于此，文章将从高中数学函数最值求解方法入手，指出高中数学函数最值求解中需要注意的内容.

【关键词】高中数学；函数；最值

通过对函数最值的研究可以发现，此类题目带有较强的概念性与综合性，要想学好该部分知识需要我们有良好的逻辑思维能力与分析能力.一般来讲函数最值不会单独存在，而是融合在三角函数、二次函数等题目中，但由于题型较多，每种题型在解题中需要采用不同的解题方法，且需要注意很多问题，如果我们不了解这些内容，很容易在解题中出现错误，影响最终的考试成绩.所以，在解答此类题目的过程中就需要掌握好数学知识点，并运用合适的求解方法，只有这样才能快速解题.

一、高中数学函数最值求解方法

在高中数学函数最值求解中，常用的方法有以下几种：

（一）代数法

代数法是高中数学函数解题中比较常用的方法，其中主要包含了配方法、不等式解题法等.

首先，对于配方法来说，这是一种常见的解题方法，应用这种方法解题可以根据其形式确定，多为y=ax2+bx+c的模式.在下题中便可应用这种方法：

函数y=x2-4x+1，求x∈[1，4]的最大值.

在求解这样的题目时，需要先转变函数式，即y=（x-2）2-3，根据进一步分析得知，在x=4时，y=1；当x=2时，y=-3.

此类题目相对简单，在遇到二次函数求最值时可以采用这样的解題方式，不仅可以快速解题，还能保证解题正确.

其次，对于不等式法来说，这种方法需要被灵活应用到求最值的题目中，如在解答以下题目时可以应用：

x，y∈R，且满足x2-2xy+y2-2x-2y+6=0，那么x+y最小值为多少？

通过观察可以发现，该题目属于求最小值的一种，所以在解题中可以运用不等式法，根据题目获得如下内容：

设t=x+y，那么y=t-x，将其带入到已知等式中可以得到4x2-4tx+t2-2t+6=0.

由于x∈R，进而得到Δ≥0，即Δ=16t2-16（t2-2t+6）=16（2t-6）≥0，经过计算得知t≥32，所以x+y的最小值也为32.

在解答此类题目的过程中应了解题目最终所求为何，并保证等号两端的变化一致，切忌出现一端变化，另一端不变化的情况，否则很容易影响到最终的解题结果.

（二）向量法

向量法也是高中数学函数最值求解中一种十分常见的解题方法，要应用向量法解题就需要观察函数结构，掌握函数结构模型，将函数最值问题转变为向量问题，这样就可以起到简化的作用，也可以快速将问题解决[1].如在遇到下面的题目时则可以采用向量法解题：

若m，n分别代表两个向量，且（m·n）2≤|m|2·|n|2，当（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2为最小值时，实数x，y的值分别为多少？

通过观察可以发现，这样的题目相对简单，只要在解题中找到正确的解题方法即可，而最好且最快的解题方式为向量法，可以获得以下内容：

令m=（y-1，x+y-3，2x+y-6），n=（1，-2，1），那么|m|2≥（-1+6-6）26=16，仅在y-1=x+y-3-2=2x+y-6时得出y=56，x=52，此时以上方程取得最小值.

这样一来便可以将问题解决，值得注意的是，在解答此类题目的过程中应保证题目中给出的m值与n值均为定值，然后再巧妙的构造向量，这样就可以将问题解决，且可以实现快速解题.同时，在解题的过程中还要熟悉向量与函数相关知识点，只有这样才能解题正确.

（三）均值换元法

对于均值换元法来说，又可以被称为辅助元素法，这种解题方法比较适用于带有复杂性的因式分解题目中，随着这种方法的运用可以将复杂的问题简单化，这样不仅可以降低解题难度，还可以提高解题速度.如在类似下面的题目中可以运用这种解题方法：

如，方程组为（x2-2x）2-3（x2-2x）-4=0，求其最大值与最小值.

通过观察可以发现，该题目属于一元四次方程，如果直接解题需要花费很长时间，运算量也很大，还容易出现求解错误，这时就需要应用到均值换元法.

设y=x2-2x，然后将y带到原方程中得到如下内容：

y2-3y-4=0，通过计算可以得到两种结果，即y=4或-1，将y再带入到方程中，可以得到如下结果：

当y=4时，x2-2x=4，那么x值分别为1+5与1-5，

当y=-1时，x2-2x=-1，那么x值为1，所以，最终求解得出原方程根有三个，分别为1、1+5与1-5，由于该题目中求解的为最值，那么最终可以确定x的最小值为1-5，最大值为1+5，这样便完成了题目解答.

在利用均值换元法解题的过程中应保证方程一端为可以分解的因式，另一端为0，只有这样的题目才能用均值换元法，否则容易出现解题错误.同时在解答此类题目的过程中还需要重视注意多值的情况，并不是所有的函数解题中只有一个或两个答案，像以上题目有三个答案，但值得注意的是如果在求最值的问题中不可能出现第三个答案.

（四）判别式法

在高中数学最值求解中，直觉也是一种很有效的解题能力，在解题过程中可以根据自己的直觉了解解题方法.在观察题目的过程中，往往会根据自己的感觉判定解题方法，这就是所谓的判别式解题法.如在解答以下题目的过程中则可以利用这种解题方法：

函数y=（x2-3x+4）（x2+3x+4），其最值为多少？endprint

通过观察可以发现，这是一道求最大值和最小值的题目，要解答这道题目应先按照以下思路进行：

首先，分母不能小于等于零，否则题目便没有意义，那么x2+3x+4>0，此时可以确定函数定义域为x∈R，经过进一步求解得出（y-1）x2+（3y+3）x+4=0，而后得到当y=1时，x=0，当y≠1时，17≤y≤7，所以得知，y的最小值为17，最大值为7.

在解答此类题目的过程中一定要观察好题目要求，看所求为最大值还是最小值，一般求最值的题目需要将最大值与最小值一同求出，切忌只求一个值，只有这样才能解题正确.同时，还需要观察分母的性质，分母不能为小于等于0，只有考虑到各种因素才能最终求得正确答案，进而完成题目求解[2].

二、高中数学函数最值求解需关注的要点

（一）把握定义域问题

在数学函数最值求解中，为保证解题正确，还需要注意定义域范围，如果没有注意到这一点，很容易出现求解错误.所以，在阅读题目的过程中应先了解题意，明确定义域范围，并在该范围内取值，超出该范围内的数值均不要.如在求解下面这道题目时就需要注意这一点：

函数y=1-xx-2的最值为多少？

在解答这一题目的过程中，如果没有注意到定义域，那么就会出现解题错误.一般来讲，在解答此类题目的过程中需要通过两边平方与去分母相结合的方式，进而得到以下内容：

y2x2-（4y2-1）x+4y2-1=0.

由于x∈R，所以，经过进一步分析得到Δ=（4y2-1）2-4y2（4y2-1）≥0，在将改方程简化以后得到4y2≤1，求得-12≤y≤12，此时就需要注意原函数中给出的定义域，如果没有注意到这一点将得出y最小值为-12，最大值为12.但在这一过程中忽视了原方程中定义域x≤1，这样就影响了最终的求解结果，如果能够注意到这一点将获得不一样的结果.由于x≤1，所以，1-x≥0，x-2<0，进而得出y≤0，那么该方程的最小值为-12，最大值为0.

通过这道题目可以看出，是否把握好定义域对函数最终求解结果有很大影响，如果此类题目以解答题形式出现，即便最后所得结果错误，阅卷教师也会根据前面的解题结果给一些分数.但若出现在填空题或选择题中，阅卷教师只会根据最后的结果定分，这样的题目往往需要将结果填在一个空格内，只要空格内一个结果错误，那么将丢失全部分数[3].在数学解题中不要轻易丢掉任何一分，尤其是在考试数学答题中，丢掉一分可能落后几十名，所以在数学函数最值求解中一定要考虑到方方面面，尽可能避免分数丢失.

（二）注意值域问题

在高中数学函数求解中还需要注意值域问题，如果在解题中轻视了值域问题的考虑，也容易造成分数丢失，进而影响到考试成绩.如在解答以下题目的过程中应注意值域问题：

求y=x2-2x2+1的最大值与最小值.

通过观察可以发现，在解答此类题目的过程中需要先将该方程变形，变形后得到如下内容：

（y-1）x2+（y+2）=0，由于x∈R，所以容易得到Δ=-4（y-1）（y+2）≥0，如果轻视了值域问题，经过计算可以求得-2≤y≤1，那么y的最小值为-2，最大值为1.为求证最终求得的结果是否正确，将y=1带入到原方程中得到x2-2x2+1=1，通过分析可以发现，这个方程是无解的，所以可以断定y的最大值为1是不存在于函数值域中，那么y∈[-2，1），由此可以了解到在该函数中，y的最小值为-2，但并没有最大值.如果在解答該题目的过程中只运用判别式法求解，很可能出现y最值被扩大的情况.

通过对以上函数的分析可以发现，在函数最值解题中应重视值域的分析，如果轻视了值域，很容易出现求解错误，所以，在实际求解中一定要做好值域分析，只有这样才能求解正确.同时，此类题目也是数学函数考试中比较常见的类型，且需要注意的问题有很多，轻视了任何一种因素都可能出现计算错误，影响最终的考试成绩，所以，在数学函数解题中一定要细致观察，考虑多种可能性，这也是取得最好结果的方式.

（三）对参变数的约束条件予以把握

在函数最值求解中还需要注意对参变数约束条件的把握，此类题目中多存在参变数，在实际计算中，需要将问题变为参数的二次函数，如果轻视了对这一问题的分析，很容易出现求函数最值解题错误的情况.如在解答以下题目的过程中应注意对参变数约束条件的把握：

若x≥1，y≥12，x+2y=4，那么x2+y2的最值为多少？

如果在解答该题目的过程中，根据x+2y=4可以设1≤x≤3，12≤y≤32，那么将两者平方后分别得到1≤x2≤9，14≤y2≤94，那么根据这一结果可以得到114≤x2+y2≤1114，经过分析得到（x2+y2）最小值为114，最大值为1114，通过进一步分析可以发现，为满足x≥1，y≥12的条件，那么在x2+y2=114时，x只能等于1，y只能等于12，但这一结果无法满足x+2y=4这一条件，所以可以判定114并非为x2+y2的最小值，同样，根据这样的计算也可以发现1114也非x2+y2最大值.

通过仔细分析可以发现，之所以会出现这种错误，问题主要出在了不等式变形上，而轻视了同解变形.所以，在求解此类题目的过程中应尽可能少在不等式中运用四则运算，同时还需要认识到等号成立条件.这也对参变数约束条件掌握不到位的体现，因此，在实际解题中应加大对以上问题的分析与重视，只有这样才能保证解题正确.

（四）注重判别式的使用

在利用判别式法求函数最值的过程中需要考虑多种因素，否则很容易在求解中出现差错.如在解答以下题目的过程中就需要注意到这一点：

已知函数y=1-sinx2-2sinx+sin2x，求其最大值与最小值.

在解答此类题目的过程中，很多学生会采用以下的方式解题：

先将函数转变为ysin2x-（2y-1）sinx+2y-1=0，由于sinx∈R，那么Δ=[-（2y-1）]2-4y（2y-1）≥0，并求得（2y+1）（2y-1）=0，最终得出y的最小值为-12，最大值为12.

通过研究该题目可以发现，该题目错误发生在Δ≥0后只看到了ysin2x-（2y-1）sinx+2y-1=0中存在实根，而没有看到实根应为[-1，1]范围内，将所得结果带入到原函数中可以获得如下结果：

当y取最小值-12时，函数方程为sin2x-4sinx+4=0，经过求解得知sinx=2，这并不属于[-1，1]，所以不能认定该函数的最小值为-12，最大值为12，而是要做好y值的检验，只有这样才能了解所求是否正确.

总的来说，在函数最值求解的过程中需要注意很多问题，轻视了任何问题都会影响最后的求解结果.

三、结束语

通过以上研究得知，在高中函数最值解题中可以采用的解题方法有很多，需要我们注意观察题目要求，采用正确的解题方法，同时还需要关注定义域、值域等约束条件，这些都对最终求解是否正确有一定影响，如果轻视了这些内容很容易出现解题错误，因此，文章联系实际情况提出了一些行之有效的解题措施与注意事项，希望我们高中学生在解题中牢记以上内容，只有这样才能降低丢分概率，并在高考中取得好成绩.

【参考文献】

[1]韦玉球，刘立明.中学数学求解最值问题的方法探寻[J].教育教学论坛，2014（49）：203-205.

[2]冯爱银.利用导数求解函数零点的变式教学探讨[J].课程教学研究，2013（4）：51-55.

[3]杨梅.三角函数最值问题的解题策略[J].科技资讯，2015（33）：134-136.endprint