三角函数诱导公式六推导方法的跟踪与改进

王远帆

【摘要】三角函数的诱导公式在高中数学教学中占有非常重要的地位，诱导公式之间既有区别又有联系，其推导方法也是教学中的一个重头戏，在诱导公式的推导过程中主要是引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法.推导过程中涉及数形关系的转换和符号的判定，体现了数学的数形结合、归纳转化及化归的思想方法，对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、掌握数学的思维方法具有重大的意义，并且很好地体现了新课标的理念.

【关键词】诱导公式；5H2W分析；对称思想；核心素养

一、问题分析

教材利用单位圆中角α的终边与-α，π±α，π2±α的对称关系，得到角α的终边与单位圆交点坐标对应关系，从而得到诱导公式一到五，但是教材在对于公式六的推导是“由于π2+α=π-π2-α得到”，在课堂讲授时，学生对于此种推导方法仍然存在疑惑，因为此方法基于公式四和五，当学生对于公式一到五还不太熟悉的情况下，用此种方法进行推导，无疑对学生的认知设置了障碍，不利于学生对公式的理解与记忆.

二、解决思路

（一）理解教学，促进思考

数学教学要为学生的长期利益服务，数学教师应引导学生不断感悟数学本质，学会数学地思考.因此，本节课在教学的处理上应该提高立意，强调“研究三角函数的性质”，体现“变换的观点”，不必过分突出与锐角三角函数的联系.也就是说，要注意引导学生结合三角函数的定义，做好“从角的终边（自变量）的对称性到函数值的关系”的过渡，要围绕“函数性质”“圆的对称性的解析表示”去设计启发性的问题串.

（二）理解学生，有效突破难点

学生的已有经验主要包括：函数学习的过程与方法、任意角的三角函数概念、圆的对称性及其坐标表示等.

学生学习新知识的难点主要有：

（1）公式有多个，增加了学生认知的负担，容易遗忘和记忆不准确；

（2）学生难以独立从函数性质的角度提出诱导公式的问题、研究思路与方法；

（3）在以往的学习中，对直角坐标系中关于直线y=x对称的两点间的关系没有进行过透彻研究.

突破难点的策略：

（1）引导学生根据任意角三角函数概念与“圆的对称性”的联系探究三角函数的性质，形成“一线串通”的思考链；

（2）在诱导公式的发现教学中，根据对称性关系的难易，采取不同的教学方式，通过教师的指导加以调控；引导学生经历“从角的终边（自变量）的对称性到函数值的关系”的探究过程，并通过观察思考角的终边与单位圆交点坐标发现变化规律，概括公式.

（三）渗透对称思想

三角函数诱导公式具有周期性以及对称性，根据三角函数的定义可知任意角的三角函数值是由角的终边位置决定的，以360°为周期，任意角的三角函数值都能化为0～360°的内角的三角函数值.根据数学中对角的定义，任意角α的终边和-α的终边关于x轴对称，π+α角的终边与α角的终边是反向延长的关系，π-α角的终边与-α角的终边也是反向延长的关系.根据任意角的对称性以及周期性来对诱导公式进行理解就比较简单，可以把任意角的三角函数转化为0到180°的三角函数.

单位圆中，

sinα=y，cosα=x，tanα=yx

由角α的终边与-α，π±α的对称关系得到公式一到四

α180°+α

终边关系角180°+α的终边就是角α终边的反向延长线

点的关系P（x，y）P′（-x，-y）

函数关系sinα=ycosα=xsin（180°+α）=ycos（180°+α）=-x

απ-α

终边关系关于y轴对称

点的关系P（x，y）P′（-x，y）

函数关系sinα=ycosα=xsin（π-α）=ycos（π-α）=-x

α-α

终边关系关于x轴对称

点的关系P（x，y）P′（x，-y）

函数关系sinα=ycosα=xsin（-α）=-ycos（-α）=x

（四）化归迁移

公式一到四的推导，让学生经历了“突出知识形成过程，渗透化归思想”的转变.公式一到四的结论都是三角函数名不变；而公式五就开始出现函数名发生改变的公式，而此时，虽然公式表征发生变化，但是其核心的数学思维仍然是对称思想，这可以作为学生对于公式一到四研究方法的一个检测.

从图中发现角α的终边

与π2±α的位置关系

由两角的特殊关系，构造出两个全等三角形，从对应边关系过渡到坐标的对应关系

利用坐标的对应关系得出公式五、六

三、实施与改进

采用“5H2W分析”法，对比两次实施（见下表）：

第一次实施第二次实施为什么改变

What（对象）由π2+α=π-π2-α直接得出结论

利用单位圆分析变化前后坐标的关系

从学生已有知识入手，有利于学生从图形的对称性中发现规律

Who

教师讲授，学生被动接受

学生为探讨主体

激发学生求知欲

When

誘导公式六的引入

理解诱导公式五的推导方法后

顺序没有发生变化，变化的是学生接受新公式的思维铺垫

Where

课堂上，教师讲授

课堂上，学生讨论分析后总结

由教师主导转向学生主导

Why

学生被动接受新知

学生主动分析，得出结论endprint

可检测学生对于之前的推导理解与掌握程度

How

由公式四、五推导而得

利用全等三角形对应线段相等，得出坐标的对应关系

揭示三角函数诱导公式的对称本质

层次分析

完全采用教材的方法，缺少加工，属于层次二

从学生角度出发，“一线串通”，理解函数的对称性

为学生往后的学习打下基础

四、收获与反思

《数学课程标准》要求把三角函数作为一种描述周期现象的数学模型来研究.在建立了三角函数的概念后，下面要研究的问题理所当然就应该是“三角函数是如何刻画周期性现象的？”“刻画周期性现象的这一数学模型有着怎样的性质？”这是数学研究的基本过程.其实，无论是诱导公式，还是后面一章的“三角变换”，其本质都是研究三角函数所具有的性质.

对数学元认知起点的选择要基于知识体系最本源的地方，以体现公式本质的问题串组织教学，努力揭示公式的形成过程.根据以往的教学经验，学生一谈到“诱导公式”，就有一种惧怕的心理，害怕公式记得不准确.学生为什么害怕公式记得不准确呢？因为学生脑海中仅仅是几个抽象的数学符号，缺乏对这些数学符号的具体经验感受.因此，有必要让学生经历从具体到抽象这一过程，感受到公式的本质.正如苏霍姆林斯基所说的那样：知识只有从人的内在精神力量与人所认识的世界的融合中产生出来时，知识才能成为一种福利.因而，领着学生到思维的源地去旅行是具有重大意义的.这些地方，形象地说，就有滋养渴望知识的细根，这些地方就会使学生萌发出一种愿望，从数学理论内部设置问题，培养学生的理性精神.数学发展的历史告诉我们，数学理论的建立往往有两条路径：第一，源于解决实际问题的需要；第二，源于数学理论内部.而源于数学理论内部的数学理论在建立时人们并不知道其有何作用，有些甚至到目前为止还不知道它们有何作用，这一点正是数学理性精神的体现.

本节课是在学习完三角函数概念之后的新授课，所提出的问题都是从数学概念内部提出的问题，其目的就是让学生感受到数学理论的建立不仅仅来源于解决实际问题的需要，从数学内部提出问题也是建立数学理论的一种手段，以达到培养学生理性精神的教学目的.

總之，数学教学的本质是学生在教师引导下能动地建构数学认知结构，并使自己得到全面发展的过程.在这一过程中，学生是主体，教师是主导，知识是载体，发展是目的.endprint