浅谈高中数学算法模块与其他模块的整合

姚馨哲

【摘要】算法是计算机科学的核心内容，也是高中数学必学和高考必考内容，而对算法考查经常会与其他数学知识联系起来考查.本文对算法模块和其他数学模块整合进行探讨.

【关键词】算法；高中数学；整合

对于计算机科学来说，算法是至关重要的内容.算法是高中数学必学和必考的知识模块.在高中数学中，算法通常是指按照一定规则解决某类问题的明确和有限的步骤.[1]在设计算法时，要保证算法正确、尽量简单，步骤尽量少，且计算机能够执行.表示一个算法常用的方法有：自然语言、程序框图（传统流程图）、N-S流程图和伪代码等.程序框图表示的算法具有灵活、自由、形象、直观的优点.下面用程序框图表示的算法来探讨算法和其他高中知识的整合.

一、算法与方程、解析几何、导数

求方程在某区间的近似根可以采用二分法，求方程在某实数附近近似根可以用牛顿迭代法.牛顿迭代法思想是：先任意设定一个与真实的根x*接近的值x0作为近似根，由x0求出f（x0），过点（x0，f（x0））作f（x）的切线交x轴于x1，把它作为第二次近似根，再由x1求出f（x1），过点（x1，f（x1））作f（x）的切线交x轴于x2，再由x2求出f（x2），再作切线……如此继续下去，直到足够接近真正的根x*为止.[2]

请画出用牛顿迭代法求方程2x3-4x2+3x-6=0在15附近近似根（精确度10-4）的程序框图.

解 由图1可以看出：过点（x0，f（x0））的切线方程为y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），切线方程中令y=0，可以求出切线与x轴的交点横坐标x1=x0-f（x0）f′（x0）.为便于计算f（x）=2x3-4x2+3x-6可以写成f（x）=（（2x-4）x+3）x-6，则函数在x0处的函数值为f（x0）=（（2x0-4）x0+3）x0-6；函数f（x）=2x3-4x2+3x-6的导函数为f′（x）=6x2-8x+3=（6x-8）x+3，函数f（x）当x=x0时的导数为f′（x0）=（6x0-8）x0+3.

程序框图如图2所示.

牛顿迭代法求方程在某值附近的近似根，用到算法、函数、方程、解析几何中的直线，以及用导数求曲线斜率，综合性较强.

二、算法与函数

已知程序框图如图3所示，若f（x）=9，则x=.

分析 本题程序框图中有两个判断框，本质上是分段函数f（x）=（x+2）2（x<0），3（x=0），3x（x>0）. 已知f（x）=9，求x的值.

解 （1）当x<0时，由流程图可知f（x）=（x+2）2，要输出的函数值f（x）=9，则（x+2）2=9可得x=-5或x=1（舍去），故输入的x的值应为-5.

（2）当x>0时，由流程图知f（x）=3x要输出的函数值f（x）=9，则3x=9可得x=2，故输入x的值应为2.

综上可知x=2或x=-5.

三、算法与统计

为弘扬民族文化，提高学生国学素养，某中学高二年级举办了一次“我爱古诗词”国学知识竞赛活动，共有500名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计.请根据频率分布表和算法流程图（图4），求输出S的值.

序号（i）分组（分数）组中值（Gi）频数（人数）频率（Fi）

1[60，70）6560.12

2[70，80）75200.4

3[80，90）85120.24

4[90，100]95120.24

合计501

解 用追踪变量法S=0，i=1.

（1）i≤4成立，

Gi=65，Fi=0.12，S=0+65·0.12=7.8，i=2.

（2）i≤4成立，

Gi=75，Fi=0.4，S=7.8+75·0.4=37.8，i=3.

（3）i≤4成立，

Gi=85，Fi=0.24，S=37.8+85·0.24=58.2，i=4.

（4）i≤4成立，

Gi=95，Fi=0.24，S=58.2+95·0.24=81，i=5.

（5）i≤4不成立，循环结束，输出变量S=81，程序结束.

通过分析还可以得出，此算法是求50名学生分数的近似平均值.

四、算法与排列

某校高二年级某班要从15名候选人中选出7名组成班委会，分别担任班长、学习委员、纪律委员、生活委员、宣传委员、组织委员和体育委员，求组成班委会的方案数目.如图5是计算班委会的方案数目的程序框图.在流程图的判断框内应填的条件是什么？

解 从15名候选人选出7名分别担任一个职位，属于排列问题，不同的班委会方案数目为A715=15×14×13×12×11×10×9.

根据程序框图，此算法中重復执行的指令中目标变量A用累积法求值；不断计入目标变量的是15，14，13，12，11，10，9存放在循环变量n中，则其规律是在前者的基础上减1，即n=n-1；变量i作为计数变量.求7个连续整数的乘积，循环体应执行7次，因此，判断框内应填的条件为i≤7？或i<8？.

算法是高中数学必学内容，是数学体系的重要组成部分，是计算机科学的基础.对于面向过程的程序，著名的计算机科学家沃斯提出，程序=算法+数据结构，算法是程序的灵魂.因此，在学习算法时，要多联系实际，多联系学过的数学知识比如，不等式、数列、概率……体会算法体现的数学思想.通过对算法的学习，可以培养逻辑思维能力，激发学习数学的兴趣，对以后进一步深造也大有裨益.

【参考文献】

[1]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书·数学3·必修[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]谭浩强.C程序设计题解与上机指导[M].北京：清华大学出版社，2005.endprint