浅谈拟共形映射的极值问题

孙阳轩

【摘要】拟共形映射也被称为拟保角映射，是一门涉及函数、极值、数集等多项数学内容的科学，最初被作为复分析的一种手段，随着应用越发广泛以及本身技术的进步，渐渐发展为一种独立学科，尤其在椭圆形偏微分方程中，拟共形映射的地位十分重要，该理论同样也适用于有理函数迭代、弹性、调和分析等领域，探讨拟共形映射的极值问题，对其未来应用有一定的积极意义.

【关键词】拟共形映射；极值

拟共形映射理论在黎曼曲面的研究中成果显著，包括黎曼曲面的单值化问题、模问题等均在拟共形映射理论的指导下获得迅速进展，泰希米勒空间、有理函数的迭代以及克莱因群等也可以应用该理论.简言之，拟共形映射是在区域内将圆映成椭圆映射，只要椭圆的长轴与短轴之比小于或者等于K，K-既是此映射的拟共形映射，其极值则是该范围内的最大值或者最小值.

一、拟共形映射的基本定义和引理

（一）拟共形映射的基本定义

拟共形映射原本作为复分析的组成部分，随着科学发展，现被定为一个独立的科学学科，其基本定义为：

在满足K>0条件的情况下，设D，D′为固定区域内平面上的开子集，区域内的连续可微函数在此时保持定向，区域内每个点的导数f′将目标圆映为椭圆，该椭圆满足离心率不大于K，此时f即为K-的拟共形映射，如果K使f为拟共形映射，f即为拟共形映射.

（二）拟共形映射的引理

在区域内选定目标圆，设f：D→D′是K-拟共形映射，B是D内的某双连通率，则M（B）K≤M[f（b）]≤KM（B）.

同样，依然在与域内选定目标圆，加入B与B1是两个不同的双连通域，B1小于B且在B内，则可知mod（B1）≤mod（B）.

该引理便于对S（K）族进行研究，了解不变性和单调性并进一步探讨拟共形映射条件下目标范围内点的隐蔽性以及相关极值的性质.

二、掩盖定理

掩盖定理是被广泛研究的定理之一，无论目标圆的选取有何种不同，其原理是不变的，在S（z0，K）族内，可以对掩盖定理进行进一步的探讨.

假设w=f（z），G=f（D）为椭圆区域的突出部分，可知d（w0，G）≥（1-|z0|）1K2.并假设f（z0）=w0.

将W0平移至坐标原点，由于G=f（D）是椭圆的突出部分，通过改变G实现G与实轴正半轴焦点的变化，该改变在区间min[d（w0，G）]之间，当G点处于G′={w[Rew

在实际的操作中，将相关数据带入上述计算式，可以进行快速的计算，由于目标圆的圆心是固定的，G点的变化重在映射区间内，因此，只需考虑z0的相关变化，并确定K的数值，这即是单叶函数S族的12-掩盖定理.

三、极值定理

通过对S（K）族的掩盖定理以及引理的相关讨论，可以分析出极值定理，鉴于不同计算环境和目标的差异，本文将讨论的核心放在S（z0，K）族极值定理的分析上.

首先设w=f（z）为S（z0，K）族，同时设f（z0）=w0，并选定目标范围内的某个固定点C代入，加入f（z）-f（z0）（|z|<1），選取目标圆内某个固定点R，

并确定R≤|C|4|C|-（1-|z0|）1k（1-|z0|）1K（4|C|）+1）.

在该计算式下，设C大于0，对于所有数据和变量均需充分考虑，如果没有计算必要，则不考虑C的正负，只以选定点为核心进行旋转即可，根据前文中的引理，可以得出modBN≤K modf（BN）.

同时，由于R≤|C|4|C|-（1-|z0|）1k（1-|z0|）1K（4|C|）+1）计算时存在的一定的变化性，即R的选取可以是完全随机的，而且在具体计算中也不可能一成不变，因此，得出计算式R≤|C|4|C|-14|C|+1，通过函数符合，得到单叶函数下，极值的最终区间为：

Ξ=|z|1K（|z|≤1）.

四、极值计算

在上述极限原理中，考虑的是目标点的选取以及不同情况下的变化，但在实际计算中，还需满足一定条件才能进行计算工作.

比如，在基本的要素胚解f，也称为K-拟共形映射，K值的确定就成为计算的重点，计算中，未知方程式往往有一个同胚解g，而且在通常情况下，F和g是相等的，考尔德伦-赞格蒙理论是最初满足该条件的极值揭发.同时，如果选定区域内的某点p为目标函数，为确保其可测，也要应用拟共形映射原理，并确保у∈p是成立的.

假设f依然是区域内的正向映射，K-是其拟共形映射，f（z）是把|z|<1映成|w|<1（（0）=0）的K-拟共形映射，按照黎曼方程的算法，f（z）可以在范围内进行规律夸张，只要始终保持|z|≤1为|w|≤1的同胚映射，极值的大小就是规律变化、容易捕捉的.

在部分计算条件下，拟共形映射的极值计算还存在着一定的近似性，这种情况不需要公式和数据的极度精确，计算难度也小得多，不过所用的原理和规律是相同的，比如，拓扑条件下的映射族，无论f怎样变化，极值是必然存在的，将椭圆的突出部分近似为黎曼曲面，只要所选的函数不变，极值的映射就可以在近似理想的环境中求得.这种方式在现代拟共形映射应用和极值求取中十分常见，尤其是一些难以进行紧密计算的领域或者部分对数值精确度要求不高的情况.由于极值通常在一个区间内，因此，近似极限结果通常能够满足所用，比如，安置于高处的太阳能接收设备，假如设备外观为圆形，随着太阳角度的改变，设备的影像会呈现椭圆形，即可以看作是拟共形映射的近似情况进行计算.

五、总 结

拟共形映射作为一个独立的科学学科，在有理函数迭代、弹性、调和分析等领域得到广泛应用，其突出特色是只要映射条件不变，任意目标点函数的计算都可以遵循固定的原理进行.在实际生活中，也会运用到近似的极值算法进行一些计算工作，探讨其具体内容，有助于相关工作的开展.

【参考文献】

[1]朱华成.拟共形映射极值问题和Schwarz导数[D].上海：复旦大学，2003.

[2]宋颖，郭文彬，王新华.拟共形映射的唯一极值问题[J].聊城大学学报（自然科学版），2007（3）：28-31.

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[4]漆毅.关于极值拟共形映射的若干问题[D].北京：北京大学，1999.