平面向量问题的常用解法小结

2018-02-03 06:10盖君悦
考试周刊 2017年89期
关键词:平面向量解题方法高考

摘要:平面向量是高考的必考点,也是高考的热点。考试题型是选择题或者填空题,考点综合程度高,方法灵活多样,能够考出学生的运用知识的熟练程度以及解题方法的灵活性。本文选取部分高考题为分析对象,按类别来分析归纳平面向量问题的常用解法,为大家备考解题提供些许指导。

关键词:平面向量;解题方法;高考

一、 直接法

平面向量考题的常见模式是对基础知识的考察,通常将若干知识点整合,解题时只需要按照顺序逐层直接解决即可。

例1(2017全国卷Ⅰ理)已知向量a,b的夹角为60°,若|a|=2,|b|=1,

则|a+2b|=。

解析:本题考查向量数量积定义及运算法则,按运算法则直接解决即得。

|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4×1=12

解得|a+2b|=23。

例2(2013上海春季)已知向量a=(1,k),b=(9,k-6).若a//b,则实数k=。

解析:本题考查坐标运算及向量共线条件,按法则直接解决即得。

由a//b可得19=kk-6,解得k=-34。

二、 几何图形辅助法

向量运算法则的图形运算是向量性质体现的最佳载体,也是数形结合的载体,借此也可以考查学生平面几何知识的综合运用。题目常用的图形载体包括平行四边形、三角形,考察的性质包括中线、中点、分点等。解决具体问题时画出图形辅助,综合运用向量的图形运算法则,完成条件与问题结果之间的转换。

例1(2015全国卷Ⅰ理)设D为ΔABC所在平面内一点,BC=3CD,则()

A. AD=-13AB+43AC

B. AD=13AB-43AC

C. AD=43AB+13AC

D. AD=43AB-13AC

解析:本题考查向量分解中的图形法则应用。画出图形,将向量运算的图形法则与平面几何知识相结合求解即可。

如图示,由向量加法的三角形法则可知

AD=AC+CD=AC+13BC=AC+13(AC-AB)=43AC-13AB

故选A。

例2(2016全国卷Ⅰ理)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=。

解析:向量模长对应图形中线段的长度,借助几何图形观察模长关系代表的向量关系,寻求解题的切入点。

向量加法遵循平行四边形法则(如图),

令OA=a,OB=b,则OC=a+b。

|a|,|b|,|a+b|分别对应ΔOAC的边长,由|a+b|2=|a|2+|b|2可知ΔOAC为直角三角形且∠OAC为直角,进而推出a⊥b。于是a·b=m+2=0,解得m=-2。

例3(2013江苏卷)设D,E分别是ΔABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC,若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为。

解析:本题考查向量的数乘及向量分解。画出图形,将向量运算的图形法则与平面几何知识相结合完成向量分解即可。

根据向量加法法则

DE=DB+BE=12AB+23BC

=12AB+23(AC-AB)=23AC-16AB

于是λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12。

三、 坐标转化法

在正交基底的前提下的向量坐标是向量的又一明显特征,完成了由形到数的转化。向量问题坐标化能够简化向量问题,也是解决向量问题的有效途径。题目已知条件中有向量的模长及夹角时,可以考虑借助条件建立恰当的直角坐标系,将问题坐标化后借助坐标运算寻求简单快捷的解决方法。

例1(2013湖南理)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是()

A. [2-1,2+1]

B. [2-1,2+2]

C. [1,2+1]

D. [1,2+2]

解析:根据已知判断有建系条件。可将a,b放入直角坐标系,把问题坐标化处理。

不妨设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),

则|c-a-b|=1可转换为|(x-1,y-1)|=1,即(x-1)2+(y-1)2=1

于是可知向量c对应点C在直角坐标系中的轨迹是以(1,1)为圆心,1为半径的圆。

|c|表示点C到坐标原点的距离,结合解析几何中圆的知识易得|c|∈[2-1,2+1]。

例2(2017全国卷Ⅱ理)已知ΔABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内的一点,则PA·(PB+PC)的最小值为()

A. -2B. -32

C. -43D. -1

解析:向量问题借助等边三角形为载体,具备建系条件,可以坐标化处理。将数与形的问题互相转化,充分体现数形结合思想的威力。

以AB所在直线为x轴,以其中点为原点建立直角坐标系(如图)

则A(-1,0),B(1,0),C(0,3),设P(x,y),

取BC边中点D,则D(12,32)。

那么PA·(PB+PC)=PA·2PD=2(-1-x,-y)·(12-x,32-y)

=2[(x+1)(x-12)+y(y-32)]=2[(x+14)2+(y-34)2-34]

则当x=-14,y=34时,PA·(PB+PC)取得最小值,为2×(-34)=-32,故选B。

例3(2013山东理)已知向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=3,|AC|=2,若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为。

解析:根据已知条件,建立坐标系如右图。

易得B(3,0),C(-1,3),于是AB=(3,0),AC=(-1,3),

那么AP=λAB+AC=(3λ-1,3),BC=(-4,3)。

由AP⊥BC得AP·BC=0,

即-4×(3λ-1)+3×3=0,解得λ=712。

總之,平面向量问题小、巧、活,涉及知识点少,分值高,题型相对固定,方法灵活多变。解好平面向量问题,需要将扎实的基础知识与灵活的解题方法有机结合,日常复习中要多思考、多尝试、多探索,为应试中准确快速解题奠定基础。

参考文献:

[1]陈碧文.“杨辉三角中的一些秘密”教学设计[J].中国数学教育,2015(8):48-52.

[2]夏金艳.发现数学的美——以“杨辉三角中的一些秘密”教学为例[J].湖北教育:教育教学,2016(2):33-36.

作者简介:

盖君悦,山东省济南市,山东师范大学附属中学。endprint

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