平面向量问题的常用解法小结

摘要：平面向量是高考的必考点，也是高考的热点。考试题型是选择题或者填空题，考点综合程度高，方法灵活多样，能够考出学生的运用知识的熟练程度以及解题方法的灵活性。本文选取部分高考题为分析对象，按类别来分析归纳平面向量问题的常用解法，为大家备考解题提供些许指导。

关键词：平面向量；解题方法；高考

一、 直接法

平面向量考题的常见模式是对基础知识的考察，通常将若干知识点整合，解题时只需要按照顺序逐层直接解决即可。

例1（2017全国卷Ⅰ理）已知向量a，b的夹角为60°，若|a|=2，|b|=1，

则|a+2b|=。

解析：本题考查向量数量积定义及运算法则，按运算法则直接解决即得。

|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4×1=12

解得|a+2b|=23。

例2（2013上海春季）已知向量a=（1，k），b=（9，k-6）.若a//b，则实数k=。

解析：本题考查坐标运算及向量共线条件，按法则直接解决即得。

由a//b可得19=kk-6，解得k=-34。

二、 几何图形辅助法

向量运算法则的图形运算是向量性质体现的最佳载体，也是数形结合的载体，借此也可以考查学生平面几何知识的综合运用。题目常用的图形载体包括平行四边形、三角形，考察的性质包括中线、中点、分点等。解决具体问题时画出图形辅助，综合运用向量的图形运算法则，完成条件与问题结果之间的转换。

例1（2015全国卷Ⅰ理）设D为ΔABC所在平面内一点，BC=3CD，则（）

A. AD=-13AB+43AC

B. AD=13AB-43AC

C. AD=43AB+13AC

D. AD=43AB-13AC

解析：本题考查向量分解中的图形法则应用。画出图形，将向量运算的图形法则与平面几何知识相结合求解即可。

如图示，由向量加法的三角形法则可知

AD=AC+CD=AC+13BC=AC+13（AC-AB）=43AC-13AB

故选A。

例2（2016全国卷Ⅰ理）设向量a=（m，1），b=（1，2），且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=。

解析：向量模长对应图形中线段的长度，借助几何图形观察模长关系代表的向量关系，寻求解题的切入点。

向量加法遵循平行四边形法则（如图），

令OA=a，OB=b，则OC=a+b。

|a|，|b|，|a+b|分别对应ΔOAC的边长，由|a+b|2=|a|2+|b|2可知ΔOAC为直角三角形且∠OAC为直角，进而推出a⊥b。于是a·b=m+2=0，解得m=-2。

例3（2013江苏卷）设D，E分别是ΔABC的边AB，BC上的点，AD=12AB，BE=23BC，若DE=λ1AB+λ2AC（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为。

解析：本题考查向量的数乘及向量分解。画出图形，将向量运算的图形法则与平面几何知识相结合完成向量分解即可。

根据向量加法法则

DE=DB+BE=12AB+23BC

=12AB+23（AC-AB）=23AC-16AB

于是λ1=-16，λ2=23，故λ1+λ2=12。

三、 坐标转化法

在正交基底的前提下的向量坐标是向量的又一明显特征，完成了由形到数的转化。向量问题坐标化能够简化向量问题，也是解决向量问题的有效途径。题目已知条件中有向量的模长及夹角时，可以考虑借助条件建立恰当的直角坐标系，将问题坐标化后借助坐标运算寻求简单快捷的解决方法。

例1（2013湖南理）已知a，b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是（）

A. [2-1，2+1]

B. [2-1，2+2]

C. [1，2+1]

D. [1，2+2]

解析：根据已知判断有建系条件。可将a，b放入直角坐标系，把问题坐标化处理。

不妨设a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），

则|c-a-b|=1可转换为|（x-1，y-1）|=1，即（x-1）2+（y-1）2=1

于是可知向量c对应点C在直角坐标系中的轨迹是以（1，1）为圆心，1为半径的圆。

|c|表示点C到坐标原点的距离，结合解析几何中圆的知识易得|c|∈[2-1，2+1]。

例2（2017全国卷Ⅱ理）已知ΔABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内的一点，则PA·（PB+PC）的最小值为（）

A. -2B. -32

C. -43D. -1

解析：向量问题借助等边三角形为载体，具备建系条件，可以坐标化处理。将数与形的问题互相转化，充分体现数形结合思想的威力。

以AB所在直线为x轴，以其中点为原点建立直角坐标系（如图）

则A（-1，0），B（1，0），C（0，3），设P（x，y），

取BC边中点D，则D（12，32）。

那么PA·（PB+PC）=PA·2PD=2（-1-x，-y）·（12-x，32-y）

=2[（x+1）（x-12）+y（y-32）]=2[（x+14）2+（y-34）2-34]

则当x=-14，y=34时，PA·（PB+PC）取得最小值，为2×（-34）=-32，故选B。

例3（2013山东理）已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|=3，|AC|=2，若AP=λAB+AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为。

解析：根据已知条件，建立坐标系如右图。

易得B（3，0），C（-1，3），于是AB=（3，0），AC=（-1，3），

那么AP=λAB+AC=（3λ-1，3），BC=（-4，3）。

由AP⊥BC得AP·BC=0，

即-4×（3λ-1）+3×3=0，解得λ=712。

總之，平面向量问题小、巧、活，涉及知识点少，分值高，题型相对固定，方法灵活多变。解好平面向量问题，需要将扎实的基础知识与灵活的解题方法有机结合，日常复习中要多思考、多尝试、多探索，为应试中准确快速解题奠定基础。

参考文献：

[1]陈碧文.“杨辉三角中的一些秘密”教学设计[J].中国数学教育，2015（8）：48-52.

[2]夏金艳.发现数学的美——以“杨辉三角中的一些秘密”教学为例[J].湖北教育：教育教学，2016（2）：33-36.

作者简介：

盖君悦，山东省济南市，山东师范大学附属中学。endprint