互换期权的近似计算方法在利率模型Quadratic Gaussian++上的应用

黄文峰，徐艳艳

(1. 株式会社MILIZE，日本 东京 105-0012； 2. 西华大学理学院，四川 成都 610039)

利率的变化既是现代金融市场的重要组成部分，也是现代金融理论中最为复杂的部分，涉及资产分析、金融产品定价以及风险管理的方方面面。对作为随机过程的利率，研究人员以及市场参与者力求用精确的模型来刻画它，以期准确地计算各种金融产品的内在价值。

在国际金融市场上，基于利率的金融衍生品占据了金融机构间交易产品很大的份额。互换(swap)是金融市场的一种重要合约，有许多种类。本文里的互换指的是标准利率互换(interest rate swap)，即一方以固定利率支付利息，获取浮动利息，另一方收取固定利息，按浮动利率支付利息。互换期权(swap option，被简称为Swaption)是基于互换基础上的期权。互换期权广泛存在于国际金融市场，有流动性大的特点，它的理论价值(定价)依从于利率的理论模型。正是基于这些特点，互换期权也是校正利率模型参数的一个重要工具。

从发展历史看，利率模型经历了从简单到复杂的过程，还从单因子演变到多因子，由期限均一类型演变成反映期限结构的类型。利率模型的发展核心驱动因素便是模型能否快速有效地捕捉到市场信息，并准确地给出利率的预测值。

仅就单因子的模型而言，经典模型如Black-Scholes模型[1]、Black模型[2]利率呈对数正态分布，非常简单，很多债券期权和利率上限、下限期权、互换期权都有理论解；但缺陷是利率模型不反映期限结构，容易偏离市场实态。CIR模型[3]和Hull-White模型[4]能反映一定的期限结构；但利率有变负值的可能，无法很好控制其变动范围。Pelsser[5]提出的二次高斯模型(Quadratic Gaussian)可以保证利率为正值，也反映了一定的利率期限结构；但远期利率值容易偏高，与雷曼事件后的全球性低利率甚至负利率金融环境不太相容。Kijima 等[6]推广了二次高斯模型，称作Quadratic Gaussian++模型(以下简称QG++)，与日本的低利率环境中比较吻合。Kishida等[7]在实际业务中，将QG++作为房产抵押债券定价用的利率模型，得到很多金融机构的认可。Huang等[8]再进行推广，加强对期限结构的表达，以适应短期负利率、长期低利率的金融环境。然而，QG++由于模型的复杂性，其参数的确定成为一个课题，也影响了它的广泛使用。

校正利率模型常用的方法之一是通过计算互换期权价值来优化利率模型参数，需要反复用到对互换期权的价值计算。除此之外，互换期权的风险价值度(value at risk, VaR)测算、回顾测试(back test)也要用到互换期权价值的反复计算，因而互换期权价值的高速计算是必须克服的技术障碍。

互换期权价值在复杂利率模型下通常没有解析公式，大多采用近似计算。比如Piterbarg[9]用到了Taylor展开，给出了通用公式；但未给出解析解答，计算贴现债券价值部分需随时求解常微分方程组。Kim[10]在Taylor展开的基础上，适当选取状态变量的取值空间，对每个利息支付时点使用Fourier变换求得互换期权价值的下限值。Gambaro等[11]发展了Kim[10]的方法，还确定了仿射型和二次高斯型多变量利率模型下互换期权价值的上限值，并将Kim[10]的多个Fourier变换缩减为一个Fourier变换。Kim[10]和Gambaro等[11]的这类方法的特点是具有通用性；但在状态变量的取值空间选取上要消耗计算资源，而且计算贴现债券价值时要用到数值积分，影响了整体的计算速度。这类方法对QG++这样的通过一定技巧可以推导出解析表达式的模型情况，计算速度上并不占优势。

本文针对QG++利率模型，通过测度变换和Taylor展开，将复杂的期望值计算转化为正态分布变量的二次多项式形式的期望值计算，进而得到互换期权价值计算的近似方法。本方法不使用数值积分，也尽量避开了指数运算，并在精度和速度2方面同时达到要求，在实际工作中发挥出重要作用。

1 利率模型QG++

1.1 利率模型QG++的随机微分方程

Kijima等[6]将QG++模型作为Pelsser[5]的Quadratic Gaussian模型的推广，定义为

(1)

式中：x为状态变量，满足x(0)=0；r(t)为瞬时利率；a、σ为正常数；α、β为常数；φ(t)为t时刻的确定性函数；W(t)为标准布朗运动。

1.2 QG++模型的贴现债券价值计算

贴现债券价值，或者叫贴现因子(discount factor，DF)是金融产品定价的基础。建立完一个利率模型，需要根据该模型算出贴现债券价值，即求出T时刻的单位面值的债券在该模型下现在时刻t的价值的期望值，根据下面的期望值公式计算：

(2)

式中：v(t,T;x(t))是单位面值债券的贴现价值；Et为时刻t的中立测度下的期望算子。

将式(1)代入，根据Feynman-Kac定理，可知式(2)满足下面的微分方程：

(3)

微分方程式(3)的解答如下：

(4)

式中：v(0,t;0)和v(0,T;0)分别为时刻t和时刻T对当前时刻0的贴现因子，可通过市场的不同到期利率求得；推导过程和系数A(t,T)、B(t,T)、C(t,T)表达式参见附录A.1，这里从略。

2 互换期权的近似计算方法

2.1 互换期权的价值公式

互换期权的理论价值可以根据Swaption的定义来推导。

假定Swap期间为[T0,TN]，分别在时刻T1,T2,…,TN领取浮动利息，则以固定利率S支付利息的一方所支付的单位货币的利息在时刻的理论价值vfix为

(5)

而同时，[Ti-1,Ti]期间的浮动利率ri为

(6)

则浮动利率方所支付的利息在t时刻的理论价值vfloat为

(7)

在充分竞争的公正市场上，理论上vfix=vfloat，则有

(8)

式中：利率S被称为互换期间[T0,TN]的掉期利率(swap rate)；v(ti,T)为将来时刻的单位面值债券在时刻t的价值(贴现因子)；Δi为期间[Ti-1,Ti]的长度

Δi=Ti-Ti-1。

若行权利率为K，则只要S>K，则“支付互换期权”(payer swaption，指支付固定利息收取浮动利息一方的期权)的价值为

若记

(9)

则Payer Swaption的理论价值SOPVcall公式可表达为

SOPVcall(t)=Et[A(t)(S-K)+]。

(10)

式中：A(t)被称为年金(Annuity)；(·)+为一个截断算符，若( )内的值小于0，则取0值。

有了支付互换期权SOPVcall的式(10)，则可以根据买卖期权平价关系(put-call parity)得到“收取互换期权”(receiver swaption)的价值SOPVput的公式：

SOPVput(t)=SOPVput(t)-{[v(t,T0;x(t))-v(t,TN;x(t))]-A(t)K}。

(11)

公式(10)根据分布函数用积分求解，在复杂利率模型下，没有解析表达式，需通过数值计算求得。

2.2 互换期权价值公式的近似表达

若利率是一随机变量，则贴现因子v(t)及Swap的掉期利率S也为随机变量，分别记为v(t,T;x(t)、S(t;x(t))。这里x(t)是一个状态变量，若利率模型为QG++，则x(t)服从式(1)。

掉期利率S根据式(8)可表达成

(12)

Payer Swaption的价值SOPVcall公式(10)的期望值计算同时涉及到年金A(t)、掉期利率S(t;x(t))，难度很大。如果改用年金测度，则可表达为

SOPVcall(t)=A(t)EA[(S(T0;x(T0))-K)+]。

(13)

Piterbarg[9]推导出上式的严密的理论公式；但是只能用蒙特卡洛法来模拟计算，于是采用对函数进行Taylor展开取近似值的方法来进行计算。本研究沿用这一近似思路，求取QG++利率模型下的互换期权的理论价值。

式(13)的EA[(S(T0;x(T0))-K)+]是年金测度下期望值计算，可以根据x(T0)在年金测度下的密度分布积分求解；但没有解析解答表达式，计算速度也较慢。下面就推导其近似的解析表达式。

(14)

S(0;x(0))=EA[S(T0;x(T0))]，

(15)

可以得到

(16)

(17)

有了式(17)，若已知x(T0)的分布φ(x(T0))，代入式(13)，则可以计算现在时刻t=0的互换期权的理论价值

(18)

2.3 掉期利率的导函数

根据式(12)，可得掉期利率的一阶导函数

(19)

同样，掉期利率的二阶导函数为

(20)

这里

(21)

(22)

(23)

而贴现债券价值及其一阶、二阶导函数v、v′、v″则因利率模型而异，QG++模型下的表达式参见附录。

2.4 状态变量的分布和期望值

根据Radon-Nikodym微分，任意可积、可测函数f(x(T))，其年金测度下的期望值可以用远期中立测度(forward measure)表达为

(24)

这里的ET[·]为远期时刻T中立测度下的期望值。将式(21)代入，可得

(25)

注意这里也用到了远期中立测度变换公式

ET0[f(x(T0))·v(T0,Ti;x(T0))]=v(T0,Ti;0)·ETi[f(x(T0))]。

得到

v(0,T0)·ET0[f(x(T0))·v(T0,Ti;x)]=v(0,T0;0)·v(T0,Ti;x)·ETi[f(x(T0))]=v(0,Ti;x)·ETi[f(x(T0))]，

记

(26)

则式(25)变成

(27)

即年金测度下的f(T)期望值为远期中立测度T1,…,TN下f(T0)期望值的加权合成结果。再根据状态变量在远期中立测度下的正态分布特性，可以求得

(28)

及

(29)

这里的记号VT[·]为远期时刻T中立测度下的方差。而年金测度下x(T0)的方差则可表达为

(30)

可以看出，年金测度下x(T0)是远期中立测度T1,…,TN下x(T0)的联合正态分布，其密度函数φ(x)为

(31)

这里φT(x)为远期时刻T中立测度下x(T0)的密度函数，因x(T0)为该测度下的正态分布，可以根据其期望值ETi[x(T0)]和方差VTi[x(T0)]求得。这里i=1,2,…,N。

这样，根据式(17)和式(31)的结果，式(18)可以转化为以下基本形式求解

(32)

待求的项只有远期中立测度下x(T0)的期望值ETi[x(T0)]和方差VTi[x(T0)](i=1,2,…,N)，其计算方法参见附录A.2。

式(32)可以用根的判别式求得ax2+bx+c≥0的取值范围，再积分求解，得到正态分布函数和正态分布密度函数的线性组合，可以简单计算，具体表达式这里从略。

至此，对于QG++这样复杂的利率模型，其互换期权的价值也可以通过两次测度变换，即年金测度和远期中立测度变换，以及一次二阶Taylor展开，将复杂函数的期望值计算公式(10)，成功转化为服从正态分布的随机变量的二次多项式的期望值(32)式求解。因为不使用数值积分和大量避免了指数运算，可以实现计算的高速化。在下一章节里，将举一个互换期权的计算实例，并对其近似结果进行精度评估。

3 互换期权的近似计算实例

3.1 互换期权的近似计算实例

这里根据文献[8]提供的贴现因子(根据2012年5月7日路透社提供的日元市场利率算出)来计算互换期权的价值。贴现因子见表1。

表1 贴现因子一览

我们根据2组参数的情形来进行计算对比，2组参数的值见表2。

表2 模型参数一览

这样我们得到的Payer Swaption结果如表3所示。

表3 Swaption计算结果的比较

这里的到期T0即对应于第2节的时刻T0，而T0+互换期则对应于该节的TN。每半年领取一次利息，利息流发生次数N=2倍互换期。这里的理论值是指对式(10)用双重指数积分[12]得到的结果。

由表3可以看出，2组参数的情形，得到的互换期权的价值结果与理论值的相对误差都比较小。到期时间越短，其误差越小。到期1年的互换期权，误差不超过0.6%，互换期越长，相对误差反而越小；而对到期较长的期权，则相对误差呈现相反特征，即互换期越长，相对误差越大。这与状态变量在到期1年以内的情况下，变动范围不大，接近其在到期时刻的期望值，因而使式(14)及式(17)的误差较小有关；而到期较长的情况下，状态变量x(T0)的变动范围比较大，Taylor展开得到的式(14)自然误差就比较大。但即使如此，在最长到期和最长互换期，其最大误差绝对值也分别不超过3.4%和2.7%，达到足够实用的水平。

3.2 互换期权的近似计算效果

表3的结果验证了本文的近似计算方法可以达到相当高的精度。如果不使用近似计算，对式(10)用梯形积分公式，需要积分节点数400以上；如果用双重指数积分，节点数也需要100以上才收敛。用互换期权来推算利率模型参数的时候，不使用近似计算的话，内存为8 G、CPU频率为2.4 GHz的计算机，用时也要超过10 h，无法实际应用。反之，使用本文的近似计算方法，时间可以缩短到3 min左右，速度提高了约200倍。因而，对于复杂的利率模型，互换期权价值的高速计算是一种必须要克服的技术障碍。而本文所应用的近似计算则可以同时达到精度和速度这两个要求，使得迅速推算数十组状态下的模型参数成为可能，并已经在实际工作中发挥了重大作用。

4 结 论

互换期权的价值计算既对债券本身的定价是必须的，也是推算利率的模型参数的一个重要手段。本文将已有的互换期权的价值近似计算方法，应用于Quadratic Gaussian++这样的复杂模型，通过年金测度和远期中立测度以及Taylor展开，将复杂函数的期望值计算转化为正态分布变量的二次函数的期望值求解。本文的计算实例表明，此近似计算具有较高精度，可达到实际应用的水平，而且近似方法的计算速度快，解决了推算利率模型参数必需的高速计算问题。

本研究工作得到首都大学东京的室町幸雄教授和株式会社AFG(株式会社MILIZE的前身)前职员岸田則生博士的大力指导，并得到株式会社MILIZE田中徹社长的大力支持，在此致以诚挚的谢意。

[1]BLACK F, SCHOLES M. The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy,1973, 81(3): 637.

[2]BLACK F. The pricing of commodity contracts[J].Journal of Financial Economics, 1976(3): 167.

[3]COX J,INGERSOLL J, ROSS S.A theory of the term structure of interest rates[J]. Econometrica，1985,53:385.

[4]HULL J，WHITE A. Pricing interest-rate-derivative securities[J]. Review of Financial Studies，1990, 3:573.

[5]Pelsser A. A tractable yield-curve model that guarantees positive interest rates[J]. Review of Derivatives Research，1997, 1: 269.

[6]KIJIMA M, TANAKA K， WONG T.Yield spread options under the dlg model[C]// In Modelling Interest Rates. Fabio Mercurio:Risk Book,2009: 43.

[7]KISHIDA N, TAKAYAMA Y, MUROMACHI Y. Pricing residential mortgage-backed securities with the term structure and the interest-rate sensitivity of prepayment risk[J].Transactions of the Operations Research Society of Japan, 2013, 56: 53. (In Japanese)

[8]HUANG W, KISHIDA N, MUROMACHI Y. Pricing residential mortgage-backed securities based on the long-term stochastic behaviors of interest rates and prepayment rates[J]. Journal of the Japanese Association of Risk, Insurance and Pensions. 2017, 8(1): 1. (In Japanese)

[9]PITERBARG V. Rates squared[J]. Risk， 2009, 1:100.

[10]KIM D H.Swaption pricing in affine and other models[J]. Mathematical Finance， 2014, 24(4)：790.

[11]GAMBARO A M, CALDANA R, FUSAI G. Approximate pricing of swaptions in affine and quadratic models[J]. Quantitative Finance， 2017, 17(9)：1325.

[12]TAKAHASI K, MORI M. Double exponential formulas for numerical integration[J].Publ RIMS, Kyoto Univ, 1974(9): 721.

特约专家介绍

黄文峰(1972—)，男，汉族，重庆潼南人，工学博士。1994年毕业于清华大学水利水电工程系，1999年于同系获工学博士学位(岩土工程专业)。中国籍，暂居日本，为株式会社MILIZE高级研究员。历任日本学术振兴会外国人特别研究员(博士后)、防灾科学技术研究所特别研究员(博士后)、科学技术振兴机构研究员(博士后)，专业方向为岩土工程的复合地基、边坡稳定，金融工程的金融衍生物的定价和风险管理等。2011年起参加教育部“春晖计划”留日博士专家团活动。有注册信息安全工程师、数据库高级工程师、软件开发工程师等日本国家资格。