基于面积模型的乘法运算再认识

张勋

摘 要：一般认为，乘法运算是先计算出积计数单位的个数，再结合积的计数单位来确定最终的结果。借助面积模型，从根据因数的计数单位构建出新的积的计数单位，进而由积的计数单位的个数来确定结果的角度实现对乘法运算的再认识。

关键词：面积模型；乘法运算；计数单位

一、由小数乘法引发的对乘法运算特殊性的思考

从新课标人教版小学数学教材涉及的小数运算的内容来看，小数加法、减法、除法都一定有小数点对齐的现象，而只有小数乘法小数点不一定是对齐的。这种差异是否使小数乘法的运算具有某种特殊性呢？通过基于计数单位概念的思考，我有了一些想法。

小数加法、减法和除法小数点严格对齐，说明在运算发生前结果的计数单位已经被确定，运算的过程实际上是在算计数单位的个数。比如2.5+1.38转化成2.50+1.38算得的结果的计数单位一定是多少个0.01，減法亦是这样，而例如26.4÷4这样的除法运算（包括像2.64÷0.4转化而来的情况），商的计数单位也因和被除数的计数单位一致而被提前锁定，即便是需要补0继续除，也是因为被除法的计数单位变小才导致商的计数单位相应变小。而小数乘法无法完全借助小数点对齐的现象来提前预知积的计数单位。所以教材中引导学生将其转化成整数来算实际上是先算出计数单位的个数，从积的变化规律的角度通过还原来确定结果，实则确定结果的计数单位。都是计数单位和计数单位的个数“两步走”，但小数乘法中两步走的顺序与其他三则运算有本质的不同。

二、借助面积模型，实现“两步走”在四则上的统一

那么小数乘法的运算过程能否在某些抓手的辅助下实现先计数单位后计数单位的个数的“乾坤大挪移”，从而与其他三则运算形成统一呢？此时，运用面积模型直观理解问题的数形结合思想派上了用场。下面仅以0.21×1.5为例来进行说明，我们借助面积模型来更加直观理解问题：

在图中，每个小长方形的长是0.01，对应0.21的计数单位，宽是0.1，对应1.5的计数单位。一排21块对应第一个因数0.21计数单位的个数，总共的15排则对应第二个因数1.5的计数单位的个数，这样一来，全图的面积就可以表示0.21×1.5的结果。而一小块的面积可以表示0.01×0.1，也就是上述提到的构建出的积的计数单位，21×15则可以表示计数单位的个数。从而全图面积可以被理解为315块面积为0.001的小长方形的面积之和，也就是0.315。这样一来，将计数单位与面积单位进行关联，小数乘法运算过程先计数单位后计数单位的个数的“两步走”于情于理就都说得通了。

三、由小数乘法推广到整个乘法运算

（一）顺藤摸瓜 推广到整数乘法部分

其实上述理论体系在整数乘法中也是成立的，例如38×25得到的结果950可以被理解为积的计数单位的个数，只不过这里的计数单位是1，对应面积模型中的每一小块是边长为1的小正方形的面积。因一排38块和25排得到的总面积就是950个1，所以结果就是950。此外，整数乘法两个因数的计数单位都是1导致右侧对齐同时实现了隐藏在个位右下角的小数点对齐，但这仅仅是一种巧合，与上面小数乘法并不矛盾。

（二）拓展延伸 推广到整数乘法部分

除了整数乘法和小数乘法，分数乘法也是乘法运算的重要组成部分。那么上述借助面积模型理解乘法运算的套路在分数乘法中是否还站得住脚呢？答案是肯定的。

与整数和小数对应，分数也有自己的计数单位，我们称之为分数单位，比如和的分数单位分别是和，分数单位的个数分别是5和4。那么·同样可以还原到上面提到的面积模型中去。在这里每一小块的长是、宽是，一排块数和排数分别是5和4。而被构建出的积的计数单位是·，也就是。同时计数单位的个数也就是块数由5×4来确定，也就是20块。相信顺着这条思维路径走下去，学生在学习分数乘法运算时对于·=的计算过程会多一种理解。

那么对于更为常规的算法，也就是将·通过交叉约分简化为·又该如何理解呢？其实在这个过程中面积模型并没有发生变化，只是细化程度降低了，也就是每一块的面变大了，从长是、宽是变为长和宽都是。同时块数相应减少了，从一排5块共4排减少到一排1块共2排。

四、从二维到三维，从面积到体积，从相乘到连乘

设想一下，如果将面积模型辅助理解乘法运算的理论体系从二维推广到三维，会发生什么呢？首先就模型本身来说会从面积模型上升到体积模型，伴随着维度增加一个，参与运算的数的个数也会从两个增为三个，那么无论是整数、小数还是分数或是它们之间的交互相乘，任何一个连乘的乘法运算都可以在相应的体积模型中找到属于自己一一对应的直观表象。

五、小结与展望

借助面积模型来重新认识并理解乘法运算，有利于学生站在制高点俯瞰全局，从整体上更好地把握运算的本质，实现完全同构的“两步走”。同时运算过程算计数单位的个数的事实向我们指出，用统一的标准度量客观世界是计算教学承载的对发展学生核心素养的重要任务。

参考文献：

[1]中华人民共合作教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].endprint