“K”—型图相似三角形在二次函数中的应用

摘 要： 三角形和二次函数两块内容的综合是初中数学最突出的综合内容。本文通过确定直角三角形在直角坐标系中的位置、特征，介绍题型，剖析解法，对“K”-型图相似三角形在二次函数中的应用进行了分析和总结。

关键词： “K”-型图；相似三角形；二次函数

直角三角形的有关知识是初中平面几何中的重点内容，而二次函数则是初中代数中的重点，这两块内容的综合是初中数学最突出的综合内容。近年来，这类综合问题是中考数学试卷的压轴题，如何挖掘几何条件，并将其转化为代数条件，是解题的难点和关键。以下是笔者多年教学过程中对“K”-型图相似三角形在二次函数中应用的总结，希望有助于中考复习。

一、 “K”-型模型图

“K”-型图是具有“K”字形状的图像，一条直线的同侧的两条直线互相垂直。如下图：

在数学问题的解决过程中，有意识提炼一些典型的数学模型可以有效提高解题速度，化繁为简，提高准确率。“K”-型图是平面几何中比较常见的一种图形，最早出现在全等三角形中，如果能在初始接触时就加以有意识训练强化“等角的余角相等”这一性质，再在后来的相似中熟练运用，并有目的地强调角、边关系，就能准确写出比例关系，为最后阶段的解决二次函数中的有关问题夯实基础。

1. 若∠APC=90°，求证两个直角三角形的两条直角边对应成比例。

证明：如图示（1），

∠1+∠2=90°，

∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠3。

在Rt△ABP和Rt△PDC中，

tan∠1=tan∠3，

即 AB BP = PD CD 。

图（2）（3）中，同理∠1=∠2，

∴tan∠1=tan∠2，

即 AB BP = PD CD 。

2. 判定∠APC=90°

图（1）中已知 AB BP = PD CD ，求证∠APC=90°。

在Rt△ABP和Rt△PDC中，

∵ AB BP = PD CD ，

即tan∠1=tan∠3，

∴∠1=∠3。

又∠3+∠2=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠APC=90°。

二、 “K”-型图在二次函数中的应用

最近几年，全国各地中考数学试卷的二次函数压轴题中频繁出现判断三角形形状（直角三角形）和求构成直角三角形动点的坐标。此类问题综合性强，且带有一定的难度，通常的方法是利用勾股定理三边关系求解，而初中阶段直角坐标系中，学生还没有学习两点间距离，用学生已有知识也可以给出方法，但过程较长。因此更多老师就直接给出高中知识的两点间距离公式，让学生死记硬背，算出或表示出三角形三边的长度，此方法运算量很大，稍有不慎会算出错误答案。甚至有更复杂的方法，在这里就不一一赘述。其实在实际解题时，若能把握问题的关键，排除图形干扰，在复杂的图形中构造出“K”-型图，就可以化难为易，快速解题。

1. 二次函数图像中判定直角三角形

（1）已知：直线AB与二次函数y= 1 4 x2的图形交于 A（-2，1），B（8，16）两点。求证：△AOB为直角三角形。

分析： 分别向x轴引垂线构造“K”-型图，有目的计算一对角的正切值。

证明： 分别过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D，

在Rt△AOC和Rt△OBD中，

AC=1，OC=2，OD=8，BD=16，

∴ AC OC = OD BD = 1 2 ，

即tan∠AOC=tan∠OBD，

∴∠AOC=∠OBD。

又∠OBD+∠BOD=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

∴∠AOB=90°，

即△AOB为直角三角形。

（2）如图所示，已知二次函数经过点B（3，0），C（0，3），D（1，4），连接DC，BC，DB，求证：△BCD是直角三角形。

分析： 向y轴引垂线构造“K”-型图。

证明： 过点D作DE⊥y轴，垂足为E，

在Rt△DEC和Rt△COB中，

DE=1，CE=1，OC=3，OB=3，

∴∠DCE=∠BCO=45°，

∴∠DCE+∠BCO=90°，

∴∠DCB=90°，

∴△BCD是直角三角形。

2. 求构成直角三角形动点的坐标

（1）已知如图示抛物线y=- 1 2 x2图像，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A，B两点，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B和A的坐标。

分析： 向x轴引垂线构造“K”-型图。

解： 过A点做AE⊥x轴，垂足为E，

∵B点横坐标是1，

∴B 1，- 1 2 。

设A x，- 1 2 x2 ，

則OF=1，FB= 1 2 ，OE=-x，AE= 1 2 x2。

∵∠AOB=90°，

∴∠FOB=∠EAO，

∴tan∠FOB=tan∠EAO，

∴ BF OF = OE AE ，

即 1 2 1 = -x 1 2 x2 ， 1 4 x2+x=0，

解得x1=0（舍去），x2=-4，

∴A（-4，-8）。

（2）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5。endprint

①求抛物线解析式；

②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由。

分析： 直角顶点在坐标轴上的向坐标轴引垂線，构造“K”-型图，直角顶点不在坐标轴上，过直角顶点做坐标轴平行线，再向平行线引垂线构造“K”-型图。

解： ①∵BC=5，OC=3，

∴OB=4，

∴B（4，0），

y=a（x-1）（x-4），经过C（0，3），

4a=3，

a= 3 4 ，

∴抛物线解析式为y = 3 4 （x-1）（x-4）

= 3 4 x2- 15 4 x+3，

对称轴x= 5 2 ；

②存在。

设P 5 2 ，y

ⅰ）以C为直角顶点，过点C作CP⊥CB交对称轴于P1，即当∠P1CB=90°时，过点P1作P1D⊥y轴，垂足为D。如图所示：

在Rt△P1DC和Rt△COB中，

∠DCP1=∠CBO，

∴tan∠DCP1=tan∠CBO，

即 5 2 y-3 = 3 4 ，y= 19 3 ，∴P1 5 2 ， 19 3

ⅱ）以B为直角顶点，过点B作BP⊥CB交对称轴于P2，即当∠P2BC=90°时，过点B作MN∥y轴，分别过P2，C向MN引垂线，如图所示：

同理∠1=∠2，

tan∠1=tan∠2，

即 3 4 = 3 2 -y ，y=-2，∴P2 5 2 ，-2

ⅲ）当P为直角顶点，即∠CP3B=90°时，过P3作P3E∥x轴，交y轴于E、交MN于Q。如图所示：

∴∠3=∠4，

tan∠3=tan∠4，

即 y-3 5 2 = 3 2 y ，4y2-12y-15=0，y1= 3+2 6 2 ，y2= 3-2 6 2 ，

∴P3 5 2 ， 3+2 6 2 ，P4 5 2 ， 3-2 6 2 ，

∴P1 5 2 ， 19 3 ，P2 5 2 ，-2 ，P3 5 2 ， 3+2 6 2 ，P4 5 2 ， 3-2 6 2 。

通过以上例题分析，遇到此类问题，我们只需写出或表示出“K”-型图里与坐标轴平行的两个直角三角形直角边的长度（注意不需要斜边），有目的的算出一对对应锐角的正切值，从而判断角的关系及三角形的形状；或者利用等角的正切值相等列出比例关系，算出动点坐标。此方法步骤简单，学生容易掌握，更重要的是可以增加学生学习二次函数的自信心。

需要强调的是，此方法中一直沿用对应角的正切值，而非相似三角形对应边成比例，是因为：

（1）正切值固定于三角形两条直角边，直角边都平行于坐标轴，计算和表示都非常简单，可以一眼看出结果或表达式。

（2）等角的正切固定于两个直角三角形中对应角的 对边 邻边 ，以免学生常常把对应边混淆出错。

参考文献：

[1]倪尔景.构图法在数学解题中的应用[J].高中，2005，（11）：12-13.

[2]韩敬.一道中考试题追溯、提炼及其应用[J].中国数学教育，2009，（11）：38-39.

[3]盖士广.例谈一个基本图形在解题中的应用[J].中学数学杂志，2010，（2）：53-55.

[4]王彬彬.例谈数形结合思想在数学解题中的应用[J].考试，2014，（4）：65-67.

[5]聂毅.例谈数形结合思想在高考函数解题中的应用[J].教育教学，2013，（4）：26-28.

作者简介：

闫岚子，高级教师，西藏自治区拉萨市，西藏拉萨江苏中学。endprint