如何应对“应用数学处理物理问题的能力”

摘要：数学作为一门工具学科在物理高考中要求很高，关注一下高考物理考试说明即可得出答案来。要求是：能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析（选自考试说明）。为此我们在平时的教学与学习的过程中要倍加关注，以便在高考中能够得心应手地运用数学解决物理问题。

关键词：高考；数学知识；物理能力

一、 高考说明中最重要的能力要求——应用数学处理物理问题的能力

高考物理要求考查的能力主要包括五项，其中第四项要求即是“应用数学处理物理问题的能力”，其重要性可见一斑。

众所周知，数学是学好物理的工具学科。数学的思想、方法和知识始终联系着整个高中物理的研究和发展过程，如物理量的定义、概念和规律（定律、定理）的准确表述和表达，能够运用数学语言精确、简洁明了地来完成。对学生的形象思维及逻辑推理能力的提升提供了不可替代且行之有效的方法，为定量地研究和分析物理问题提供了强有力的工具。

二、 高考中常用的数学知识都有哪些

“应用数学处理物理问题的能力”这一要求主要表现在如下几个方面。

第一，数学图像在物理问题中的体现；第二，几何知识在物理中的运用；第三，极限法；第四，函数的极值；第五，微元法。另外三角函数的运用、不等式的运用、导数的运用等数学知识也经常在物理问题中涉及。如何能够灵活运用这些数学知识来解决物理问题呢？笔者在多年的教学及高考复习指导中提炼出自己的几点感悟，现与同仁们共享。

三、 案例分析与应对建议

（一） 运用数学图像解决物理问题

案例一：如图1所示，在坐标轴Ox放上一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为2.0m和5.0m。在点电荷Q电场中，A点放置一个带正电的试探电荷，B点放置一个带负电的试探电荷，现测得在A、B两点的试探电荷受到的电场力方向都跟x轴的正方向相同，电场力的大小跟试探电荷所带电荷量大小的关系如图乙中直线A、B所示，求：

（1）A点的电场强度的大小和方向；

（2）B点的电场强度的大小和方向；

（3）试判断点电荷Q的电性，并确定点电荷Q的位置坐标。

解析：（1）由图可知，A点的电场强度EA=Fq=40.1N/C=40N/C，方向指向x轴正方向。

（2）同理B点的电场强度EB=Fq=2.5N/C，方向指向x轴负方向。

（3）由题意可知，点电荷Q应位于A、B两点之间，带负电荷。设点电荷Q的坐标为x，由点电荷的电场E=kQr2可知EAEB=（5-x）2（x-2）2=402.5

解得：x=2.6。（另解x=1舍去）

点评：可以说图像问题渗透到高中物理的方方面面，特别是在探究性的实验中更是如此。同学们在遇到图像问题时应从哪几个方面来有序地思考呢？筆者认为应从以下五个方面来关注：第一要清楚坐标轴代表的物理量；第二关注图线是直线（或折线）还是曲线；第三关注图线与坐标轴的交点的意义；第四关注图线的斜率意义；第五关注图线与坐标轴所围成的面积的意义。本题图乙是Fq图像，图线形状为直线，过坐标原点，故为正比例函数图像。其斜率代表静电场的电场强度这一物理量。

（二） 运用数学归纳法解决物理问题

案例二：如图2所示，质量为m的机车头拖着质量均为m的n节车厢在平直轨道上以速度v匀速行驶，设机车头和各节车厢受到的阻力均为f，行驶中后面有一节车厢脱落，待脱落车厢停止运动时后面又有一节车厢脱落，各节车厢按此方式依次脱落，整个过程中机车头的牵引力保持不变，问：

（1）最后面一节车厢脱落后，机车头和剩下的车厢的加速度是多大？

（2）最后面一节车厢脱落后，当它停止运动时，机车头和剩下的车厢的速度是多大？

（3）全部车厢脱落并停止运动时，机车头的速度是多大？

解析：（1）由牛顿第二定律可得：

F-nf=nma，a=F-nfnm=fnm

（2）由速度公式可得：

v1=v+a1t1=v+fnm×mvf=1+nnv

（3）当第二节车厢脱离时：

v2=v1+a2t2=v1+2f（n-1）m×mv1m=（1+n）n-1v1=（1+n）2n·（n-1）v

当第三节车厢脱离时：

v3=v2+a3t3=v2+3f（n-2）m×mv2m=（1+n）n-2v2=（1+n）3n·（n-1）·（n-2）v

归纳推理可得：

vn=（1+n）nn·（n-1）·（n-2）…·2·1=（1+n）nn！

点评：本题除了考查牛顿第二定律外，还运用了数学归纳法寻找通项公式，即第一节车厢脱离后的速度、第二节车厢脱离后的速度、第三节车厢脱离后的速度。在解决这类物理过程比较复杂的具体问题时，常从前几次出发，类推出第n次的情况，然后用数学归纳法加以证明。此类题要求注意按照数学要求在书写上的规范。

（三） 运用微元法解决物理问题

案例三：在人民教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书——物理1》中，第二章第三节匀变速直线运动的位移与时间的关系内容，将微元法的基本思想首次加以体现和运用，该教材在第38页用4幅图（如图3所示）较准确和完整地介绍了微元法的基本思想。如图甲为匀变速直线运动的速度图像，因为同学们都非常熟悉运用匀速直线运动的速度图像来求位移了——即利用矩形的面积求。图乙将图甲在t时间内的图像分成5等份，每两个位置之间的位移就近似等于以15t为宽、以速度为高的细高矩形面积，而5个矩形面积之和就可以粗略地表示整个运动过程的位移了。图丙在图乙的基础上将各位置的时间间隔变得更小些，则这些矩形面积之和就能够比较准确地表示整个运动的位移了。如果时间进行无限细分，则小矩形的面积就等于BC斜线下的直角梯形的面积——即整个运动过程的位移了。

微元法说白了就是将物理量或物理过程首先进行无限细分，然后再进行求和，与数学的微分、积分一样的。众所周知牛顿是伟大的物理学家，是经典物理的奠基人之一。然而当年牛顿在研究物理学时，由于数学计算工具的局限性转而去研究数学，经过努力一举创立了微积分，使得当时英国的数学水平领先于其他国家和地区很多。管中窥豹，略见一斑。由此可以看出数学与物理是密不可分的，对为什么在物理高考能力要求中应用数学处理物理问题的能力作为重头戏也就不难理解了。

参考文献：

[1]陈鉴深.数学方法在物理问题中的应用[EB/OL].www.jxteacher.com

[2]普通高中课程标准实验教科书——物理1[M].北京：人民教育出版社，2004.

作者简介：

臧立志，江苏省苏州市，苏州大学附属中学。endprint