凸函数的性质及应用

摘要：本文首先对凸函数的有关概念进行阐述，然后对凸函数的运算性质进行简要分析，最后通过举例的方式对凸函数的具体应用进行了重点探讨。

关键词：凸函数；运算；应用

在高等数学课程学习中，当运用导数对函数性态进行探讨时，往往遇到凸函数。凸函数是一种特殊函数，其具有一些性质能对某些初等不等式、函数不等式及积分不等式进行简单证明。下面就对凸函数的性质及其应用展开详细探讨。

一、 凸函数的有关概念

定义1若函数f（x）对于区间（a，b）内的任意x1，x2以及λ∈（0，1），恒有

f[λx1+（1-λ）x2]≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），

则称f（x）为区间（a，b）上的凸函数。

二、 凸函数的运算性质

性质1若f（x）为区间I上的凸函数，k为非负实数，则kf（x）也为区间I上的凸函数。

性质2若f（x），g（x）均为区间I上的凸函数，则f（x）+g（x）也为区间I上的凸函数。

推论若f（x），g（x）均为区间I上的凸函数，k1，k2为非负实数，则k1f（x）+k2g（x）也为区间I上的凸函数。

性质3若f（x）为区间I上的凸函数，g（x）为J上的凸增函数，且f（I）J，则g·f为区间I上的凸函数。

性质4若f（x），g（x）均为区间I上的凸函数，则F（x）=max{f（x），g（x）}也是区间I上的凸函数。

上述性质很容易证明，故在此省略。

三、 凸函数的应用

在学习初等数学与数学分析时，证明不等式是一项关键的学习内容，通过对凸函数理论的应用，能有效简化许多不等式的证明过程。下面具体分析：

例1求证：对任意实数a，b，有ea+b2≤12（ea+eb）。

证明设f（x）=ex，则f″（x）≥0，x∈（-∞，+∞）故f（x）=ex 为（-∞，+∞）上的凸函數。从而对x1=a，x2=b，λ=12有定义

fx1+x22≤12[f（x1）+f（x2）]。

即得

ea+b2≤12（ea+eb）。

注：该题构造函数，运用凸函数的定义很容易就能导出结果。

例2设0

证明设f（x）=（1+x）1-a（1-xa）（0

那么f′（x）=（1-a）（1+x）-a（1-xa）+（1+x）1-a（-axa-1），

f″（x）=-a（1-a）（1+x）-1-a（1-xa）-a（1-a）（1+x）-axa-1-a（1-a）（1+x）-axa-1-a（1-a）（1+x）1-axa-2=-a（1-a）（1+x）-1-a[（1-xa）+（1+x）xa-1+xa-1（1+x）-（1+x）2xa-2]=-a（1-a）（1+x）-1-a（1-xa-2）=a（1-a）（1+x）-1-a（xa-2-1）。

于是，当00，由严格凸函数的定义，其中λ=x，x1=1，x2=0，得f（x）=f[x·1+（1-x）·0]

即（1+x）1-a（1-xa）<1-x。

注：该题运用了定理1及推论1的结论。

例3在△ABC中，证明

sinA+sinB+sinC≤332。

证明 令f（x）=-sinx，x∈（0，π），f″（x）=sinx>0，x∈（0，π）由应用2得f（A）+f（B）+f（C）3≥FA+B+C3，即

sinA+sinB+sinC≤sinA+B+C3≤sinπ3=32，

所以sinA+sinB+sinC≤332。

例4设a1、a2、…、an均为正数，且a1+a2+…+an=1。求证：

a1+1a12+a2+1a22+…+an+1an2≥（1+n2）2n。

证明因为f（x）=x2是凸函数，由凸函数的性质有

a1+1a12a2+1a22+…+an+1an2

≥na1+1a1+a2+1a2+…+an+1ann2

=1n1+1a1+1a2+…+1an2。（1）

由柯西不等式：∑ni=1ai2·∑ni=1bi2≥∑ni=1aibi2得

1a1+1a2+…+1an=1a1+1a2+…+1an·1 =1a1+1a2+…+1an（a1+a2+…+an）≥n2，

∴1a1+1a2+…+1an≥n2，由（1））即得

a1+1a12a2+1a22+…+an+1an2≥（1+n2）2n。

参考文献：

[1] 华东师范大学数学系编.数学分析上第三版[M].北京：高等教育出版社，2001：148-154.

[2] 李惜雯.数学分析例题解析及难点注释（上册）[M].西安：西安交通大学出版社，2004，1：265-269.

作者简介：陈飞翔，重庆市重庆三峡学院数学与统计学院。