一道高考真题的一题多解

摘 要：圆锥曲线的离心率问题是高考中常考的问题，它往往涉及曲线的定义，或者有关性质，尤其是定义的应用比较多，本文的一题多解中就应用了双曲线的几种定义和相关性质。

关键词：高考；解题；探究

点评：此解法简单明了，是本题的最优解法，也许正是出题人所要考查的方法。

此题来源于人教A版教材第80页《复习参考题A组》第10题：已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之积等于m（m≠0），试探求顶点C的轨迹。由此题我们可知，当m>0时，C的轨迹是不含AB两点的双曲线。我们将点A，B的坐标一般化为（-a，0），（a，0），将m变为b2a2，这就是我们所讲的双曲线的第三定义。此题中，直线MA，MB的斜率都是定值，直线MA，MB的斜率之积为常数，这样a，b的关系就建立起来，离心率就求出了。

分析二：建系，将已知条件转化为M点的坐标，带入双曲线的方程，可建立起a，b之间的关系，即可求出离心率。

【解法二】：（代入法：将M点的坐标带入双曲线方程）

点评：由于点M是自由点，如果选修了《极坐标与参数方程》的学生可能有选用此解法的。此解法的障碍在于消参方法的特殊性，由于直线斜率结构的特殊性，确定了消参的特殊性。

在漫长的教学过程中，还需要经常自我反思与总结，共同与时俱进是我们的职责。

作者简介：唐泽虎，贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学。endprint