含参不等式恒成立问题的求解

王丹+谢伟

含参不等式恒成立问题在高考试题中如同一颗璀璨的明珠夺人眼球，与函数、方程、数列、导数等知识结合，演奏出了一曲曲优美的乐章. 解决这类问题需要运用换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，下面举例介绍这类问题的求解策略.

数形结合法

有些含参不等式恒成立问题，从数的角度很难切入；但从形的角度入手，可以利用恒成立条件的几何意义直观求解.

例1 若对任意[x∈]R，不等式[x≥ax]恒成立，则实数[a]的取值范围是（ ）

A. [a<-1] B. [a≤1]

C. [a<1] D. [a≥1]

解析 如图，其几何意义是[f（x）=x，][x∈R]的图象不低于[g（x）=ax， x∈R]的图象. 因此，[a≤1].

答案 B

例2 若不等式[3x2-logax<0]在[x∈0，13]上恒成立，则实数[a]的取值范围是________.

解析 由题意知，不等式[3x2

如图，其几何意义是在区间[0，13]上函数[f（x）=logax]的图象在函数[g（x）=3x2]的图象的上方.

若[a>1]，则函数[f（x）=logax]的图象在函数[g（x）=3x2]的图象的下方，不合题意.

若[0

则[loga13≥13]，解得，[a≥127].

所以，[127≤a<1].

综上所述，实数a的取值范围是[127，1].

答案 [127，1]

点评 对于具有明显几何意义的含参不等式恒成立问题，可以利用其几何意义建立关于参数的不等式，进而求出参数的取值范围.

不等式解集法

若不等式[f（x）>0]的解集是集合[B]，则不等式[f（x）>0]在集合[A]中恒成立等价于集合[A]是集合[B]的子集. 利用[A?B]建立关于参数的不等式，即可求出参数的取值范围.

例3 已知[f（x）=x+a+x-2]，若[f（x）≤x-4]在[[1，2]]上恒成立，则实数a的取值范围是________.

解析 由题意知，[x+a+x-2≤x-4]在[[1，2]]上恒成立，也就是[x+a+2-x≤4-x]，即[x+a≤2]在[[1，2]]上恒成立.

因为不等式[x+a≤2]的解集为[-2-a，2-a]，

所以[[1，2]][?-2-a，2-a].

从而[-2-a≤1，2-a≥2，]解得，[-3≤a≤0].

答案 [-3，0]

例4 设[f（x）]是定义在R上的偶函数，且当[x≥0]时，[f（x）=2x]. 若对任意的[x∈[a， a+2]]，不等式[f（x+a）][≥f2（x）]恒成立，则实数[a]的取值范围是________.

解析 由题意知，[f（x）=2x].

则[f（x+a）≥f2（x）]，即[2x+a≥2x2].

亦即[x+a≥2x]对任意的[x∈[a， a+2]]恒成立.

也就是[3x2-2ax-a2≤0]对任意的[x∈[a， a+2]]恒成立.

（1）当[a<0]时，不等式[3x2-2ax-a2≤0]的解集为[a，-a3].

则[[a，a+2]][?a，-a3].

从而[a<0，-a3≥a+2，]解得，[a≤-32].

（2）当[a=0]时，不等式[3x2-2ax-a2≤0]的解集为[0].

则[[a，a+2]][?0]，这是不可能的，所以[a∈?].

（3）当[a>0]时，不等式[3x2-2ax-a2≤0]的解集为[-a3，a].

则[[a，a+2]][?-a3，a]，这是不可能的，所以[a∈?].

综上所述，实数[a]的取值范围是[-∞，-32].

答案 [-∞，-32]

点评 对于容易求出不等式的解集的含参不等式恒成立问题，可以根据给定恒成立区间是不等式解集的子集列出关于参数的不等式（组），从而求得参数的取值范围.

函数最值法

含参不等式恒成立问题中至少含有两个变量，根据条件构造函数，并用求函数最值的方式解题. 一般有两种解题策略.

（1）分离参数法. 先分离参数[k]得，[k>f（x）]，或[kf（x）]恒成立[?k>f（x）max]；②[k

（2）不分离参数法. 不分离参数[k]，直接构造含参数[k]的函数[y=g（x）]，通过求含参数[k]的函数[y=g（x）]的最值，建立关于[k]的不等式，再求参数[k]的取值范围.

例5 若不等式[x2+ax+1≥0]对[x∈0，0.5]恒成立，则实数a的最小值是（ ）

A. 0 B. -2

C. -2.5 D. -3

解析 两种转化策略：（1）分离参数法，将不等式转化为[a≥-x+1x]. 由题意知，它对[x∈0，0.5]恒成立，构造不含参数的函数[g（x）=-x+1x]，[x∈0，0.5]并求出最值，只需[a≥g（x）max]. （2）不分离参数法，直接构造含参数[a]的函数[f（x）=x2+ax+1]，[x∈0，0.5]，并用参数[a]表示出最小值[h（a）]，只需[h（a）≥0].

方法一：将不等式转化为[a≥-x+1x]，由题意知，它对[x∈0，0.5]恒成立.

构造函数[g（x）=-x+1x，x∈0，0.5].

因为[y=g（x）=-x+1x]在[0，0.5]上是增函数，

所以[g（x）max=g（0.5）=-2.5].

所以[a≥-2.5].

所以实数[a]的取值范围是[{a|a≥-2.5}].

方法二：构造函数[y=f（x）=x2+ax+1]，[x∈0，0.5.]

①当[a≥0]时，[y=f（x）]在[0，0.5]上是增函数.

则[f（x）>1]，所以[a≥0]符合题意.

②当[-1

由题意得，[-1

所以[-1

③当[a≤-1]时，[y=f（x）]在[0，0.5]上是減函数.

则[ymin=f（0.5）=1.25+0.5a].

由题意得，[a≤-1，1.25+0.5a≥0.]

所以[-2.5≤a≤-1].

综上所述，实数[a]的取值范围是[aa≥-2.5].

点评 一般选择恒成立的变量和区间作为构造函数的自变量和定义域. 如例5中选择[x]而不是[a]作为自变量，选择[0，0.5]而不是其他范围作为定义域. 而且，通常用到一次函数、二次函数、[y=x+kx（k>0）]型等函数的性质，以及利用导数的性质求函数的最值.

例6 已知函数[f（x）=xlnx-ax2]在[x∈1e2，+∞]上是单调增函数，求实数a的取值范围.

解析 方法一：依题意得，[f（x）=lnx-2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立，即[2a≤lnx+1x]对[x∈1e2，+∞]恒成立.

令[gx=lnx+1x]，则[gx=-lnxx2].

所以g（x）在[1e2，1]上单调递增，在（1，+∞）上单调递减.

又当x→+∞时，g（x）→0，且[g1e2=-e2]，

故[gxmin=g1e2=-e2].

所以[2a≤-e2]，即[a≤-e22].

所以实数[a]的取值范围是[-∞，-e22].

方法二：依题意得，[f（x）=lnx-2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立.

令[h（x）=lnx-2ax+1，x∈1e2，+∞]，

则[h（x）=lnx-2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立.

则[h（x）=1x-2a=-2ax+1x].

①当[a≤0]时，[h′（x）>0]，[h（x）]在区间[1e2，+∞]上单调递增.

则[h（x）min=h1e2=-2ae2-1≥0].

则[a≤0，-2ae2-1≥0.]

解得，[a≤-e22].

②当[a>]0时，由[h′（x）>0]得，[x=12a].

当[1e2<12a]，即[0

当[x→+∞]时，[g（x）→-∞]，故不合题意.

当[1e2>12a]，即[a>e22]时，h（x）在区间[1e2，+∞]上单调递减.

当[x→+∞]时，[g（x）→-∞]，故不合题意.

综上所述，实数[a]的取值范围是[-∞，-e22].

点评 两种解题策略的区别在于：构造的函数是否含有参数，而参数会对求最值产生影响. 一般优先选择分离参数法，如果分离参数比较困难，再选择不分离参数法.