多复变数不同维数单位多圆柱上推广的Schwarz引理

陈诗菲，徐海娜，刘小松

(岭南师范学院 数学与统计学院，广东 湛江 524048)

1 引 言

Schwarz引理是单复变数中一个著名的引理，具有广泛的应用，到目前为止，Schwarz引理在相同维数的情形已基本解决，相关文献见文[1-7].一个极其自然的问题：是否存在多复变数不同维数单位多圆柱上的Schwarz引理，本文给出了一个肯定的回答.

本文中，Un表示为n维复欧式空间Cn的开单位多圆柱，即Un=(z1,z2,…,zn)′∈Cn|zl|<1，l=1，2，…，n，‖zn‖=max|z1|,|z2|,…,|zn|，H(Un,Um)表示Un到Um上的所有全纯映照的全体；N+表示正整数集.f(z)∈H(Un,Um)的一阶Fréhet导数与P(P≥2)阶Fréchet导数分别为Df(z)和Dpf(z)(am-1,.).

2 一些引理

为证明本文的主要定理，需给出如下引理.

引理2[2]设|a|≤1，|z|<1，则

3 主要定理

则

且上述估计式是精确的.

g1(ζ)=f1(ζz0)，ζ∈U，1=1，2，…，m.

(1)

由引理1，有

(2)

由引理2和(2)得

和

令ζ=‖z‖n,有

因

|g1(0)|=|f1(0)|，|f1(0)|≤‖f(0)‖m，

因此

令ζ=‖z‖n，有

特别取j∈{1,2,…,m},使得|fj(0)|=‖f(0)‖m，于是

注意到

|gj(0)|=|fj(0)|=‖f(0)‖m，

故

综上

易得

故

上述定理1的结论左边等号成立.

易得

而

故

上述定理1的结论右边等号成立.

且上述估计式是精确的.

g1(ζ)=f1(ζz0)，ζ∈U，1=1，2，…，m，

则

令

则由引理1知h1(ζ)∈H(U,U).

又令

(3)

则

于是由引理1，有

w1(ζ)≤ζ.

(4)

又由(3)得

由引理2和(4)得

和

对于

令ζ=‖z‖n,有

故

因此

对于

令ζ=‖z‖n，有

特别取j∈{1,2,…,m},使得

于是

注意到

因此

综上

易得

故有

从而上述定理2的左边等式成立.

取z=

-reiarga1，…，-reiargan

而

故有

因此上述定理2的右边等式成立.

g1(ζ)=f1(ζz0)，ζ∈U，1=1,2,…,m.

则

令

(5)

则

由引理1，有

(6)

又由(5)得

故

因此由(6)得

因

即

故

因此

定理3精确的实例证明与定理1相同.

[1] 钟玉泉.复变函数第四版[M]. 北京：高等教育出版社，2012.

[2] 史济怀，刘太顺.复变函数[M]. 合肥：中国科学技术出版社，1998.

[3] 张敏珠.推广的Schwarz-Pick引理[J]. 数学学报，2006，49(3)：613—616.

[4] Osserman R.A sharp inequality on the boundary[J]. Proc Amer Math Soc，2000，138: 3513—3517.

[5] Mercer P R.Sharpened versions of the Schwarz Lemma[J]. J Math Anal Appl，1997，205：508—511.

[6] 史济怀.多复变函数论基础[M]. 北京：高等教育出版社，1996.

[7] TANG X M，LIU T S.Schwarz lemma at the boundary of the unit polydisle inCn[J] Sci China Math，2015，58(8): 1639—1652.