小学“方程”教学现状及重构分析

□ 傅赢芳

关于方程的教学，在20世纪90年代末，陈重穆先生就提出了一个观点：“淡化形式，注重实质”。对于方程而言，要淡化的是“含有未知数的等式”这一定义。他指出，“不必在文字叙述上下功夫，更不要把这些叙述当成方程的正式定义，予以拔高”[1]。张奠宙先生也多次撰文强调这一点，2011年，他对小学数学中的一些科学性问题进行了分析，其中就指出这一定义“只谈了方程的表面，实在不重要”。同时，他还指出方程的本质是为了求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等式关系[2]。2014年，他再次撰文强调了这一点[3]。

那么，数学教师是否理解方程的本质？是否以适当的教学方式向学生诠释方程的本质呢？

一、现状分析：教师对“方程”的认识及教学设计

从相关的教学论文来看，小学数学教师普遍意识到“含有未知数的等式”这一定义是一种形式定义。同时，教师也明确了方程的本质是一种问题的解决过程，它不同于算术之处，在于方程对未知量与已知量一视同仁。

另一方面，分析小学数学教学期刊中有关方程意义的教学设计，可以发现，大致可以分为三类：（1）借助于天平，从“等价”以及“数量关系”着手生成方程，进而概括属性特征；（2）借助于情境产生等式与不等式以及方程，经过两次分类，进而筛选出课程学习的主题词“方程”；（3）用以前接触到的“20÷□=4”这样的式子来引入。那么，这些设计是否反映教师已经理解方程的本质？

（一）“天平”是否反映方程本质

不同版本的教材在编排方程内容时，都用到了“天平”这一情境，因此，教师在教学过程中也用到了“天平”或者天平的变体“跷跷板”。这可能与天平平衡状态下两边质量相等这一特征密不可分。当数值从天平中抽象出来以后，自然就变成了左右两边相等的式子。因此，教师能很自然地突出式子两边等价这一属性。延拓开来，就是在列方程过程中，需要找到这样一种特殊的数量关系（等量关系）。那么，这是方程的本质吗？

诚然，明确数量关系是列方程的关键步骤。教师在实际教学过程中，也非常重视数量关系的教学。但是，重要步骤是否就是方程的本质？反过来想，在运用算术方法求解问题的过程中是否也存在数量关系的识别与运用？在运用算术方法求解问题的过程中，实质上是对原来的数量关系结合具体情境进行了推理，使得未知量可以直接表示成已知量的某种或某几种运算的结果。但是，运用方程方法求解问题，却只要直接写出数量关系式，不必对数量关系本身的情境进行推理（实际上是延后到了解方程中）。由此看来，数量关系的存在与否并不是构成方程的核心或本质。

从这个角度来看，用“天平”这一情境去引出方程并不能揭示它的本质属性。

（二）“用字母表示未知数”是否反映方程本质

在现行的多版本教材中，都将“用字母表示数”作为“方程”这一课时的前提知识来编排。从知识结构来讲，有其合理性。因为方程中必然涉及未知数的表达和运算，因此，提前学习“用字母表示数”会有助于学生更快掌握方程内容。

在这种框架下，很多教师在教学“方程”时，会尽可能把未知数引出来，以此得到方程形式定义中的又一属性。但是，我们同样需要反思，这个属性是方程本质吗？

首先，用字母表示数，并不是方程所独有的特征。在很多公式、规律或函数等的表达中，都会借助于字母来表示更一般的情形。比如，借助a+b=b+a来替代文字叙述——交换两个加数的位置，和不变；借助于c=4a来表示正方形的周长公式。其次，从数学发展史的角度来看，方程思想的出现早于用字母表示数。远在公元前3000多年的古埃及文化中，就出现了一元一次方程形式，但直到十六七世纪，随着笛卡尔和韦达的工作，用字母来表示数才得以规范化。

如此看来，用字母表示未知数也并不是方程的本质，未知数可以用其他内容物来表示。

（三）文字题20÷□=4是否反映方程本质

张奠宙先生指出，方程是用以求解问题的。仅从这一点来看，20÷□=4只是形式上与方程相像，与方程并没有实质的联系。之所以这样讲，原因有二：其一，文字题缺乏情境，无须学生产生“要将未知数与已知数并列，并同等对待”的意识；其二，文字题是为练习乘法口诀而设，不涉及现实数量关系的意识与呈现。一言以蔽之，它充其量具有了现代方程的形式，却不具备其精髓。因此，若是从这里引入方程，也还是落入了形式的窠臼。

因此，就现状来看，教师虽然能准确理解方程的本质，但很难将其在教学设计中体现出来。

二、教学设计的重构：基于对方程的知识本质

方程的本质属性可分为两点：（1）方程的出现是基于问题解决的。（2）区别于同样是指向问题解决的算术方法，方程的典型特征是承认未知量与已知量具有同等地位，允许未知量参与计算。因此，方程教学的设计应着重突破这两个本质属性。

（一）基于问题解决的本质属性进行情境设计

方程是解决问题的一种模型或方法，它与算术方法互为补充。因此，从这个特征出发，需要思考的教学问题是：既然已经有算术方法，为什么还需要引入方程方法来解决问题？教师首先要从学理层面弄清楚这个问题，并用情境将思考的结果体现出来，以引起学生的思考，最终使学生明白方程学习的意义所在。进一步地，从认知心理的角度来看，要使学生跳出原有方法的框架体系，以产生寻求新方法的意识，必然是处在一个认知冲突的过程中的。也就是说，教师需要构建用算术方法较难解决的问题。比如丢番图的墓志铭就是一个很好的情境。由于这个情境比较复杂，在实际教学中，也可以根据学生的数学思维水平进行适当简化，比如下面是一种简化的例子。

伟大的丢番图一生的六分之一是幸福的童年，24年后，他有了孩子，可惜的是，他的孩子只活了父亲寿命的一半。丢番图把丧子之痛转化为研究数学的动力，就这样又过了4年，他寿终正寝。

再比如，下面这个情境是根据北师大版数学四年级下教科书的习题改编的，情境也符合设置要求。

一辆公交车到达某个站点时，下去了一半的人，又上来18位乘客，最后车上的人数是原有人数的两倍。请问公交车到达该站点前，原有多少人？

（二）基于未知量参与计算的本质属性进行教学问题设计

当寻求新方法的需求产生时，教师如何引导学生，使学生产生“把未知量当成已知的，进而把问题中的数量关系直接表示出来”的想法至关重要。以简化后的丢番图的墓志铭为例，分析如何引导学生产生“表示未知量”的意识，产生问题转化的意识。

提问的前提是假设学生无法用算术方法求解简化后的墓志铭问题。

启发式提问1：现在，大家感到困难的地方在哪里？

目的是弄清楚现状，并具体地表述出问题所在。预设是学生能最终清晰地找到困难之处——无法用已知的数据直接算出丢番图的年龄。如果一次无法达到预设，则分层次分析学生的回答，并进一步引导，直至得到预设。

启发式提问2：现在我们无法直接算出丢番图的年龄。那么，我们退回去重新思考：题目所给条件是否能算出丢番图的年龄？

目的是对学生进行潜移默化的数学思考的影响，当我们的思路受阻时，回到问题的最初状态，重新审视问题。预设是学生能给出肯定回答。

启发式提问3：是什么让你坚信能解出丢番图的年龄？

目的是引导学生将焦点放在问题所给的数量关系上。预设是学生会把题目中的数量关系重新表述一遍。

启发式提问4：既然这种数量关系如此重要，你能否用适当的方法把它表示成一个数学式子？

目的是出现方程，未知数的表示可以任意。预设是学生能用文字加数字等方式表示出式子。未知部分也可以用任意符号占位。比如：

启发式提问5：我们求丢番图年龄的问题现在转化成了什么问题？

目的是使学生产生转化问题的意识。预设是学生能知道，现在只要能求出式子中的“丢番图的年龄”或“■”即可。

解说：像这样的式子，数学家们发现它们非常常见，所以需要专门拿出来进行研究。数学家们把它命名为“方程”，解答式子中未知数的值的过程则称为“解方程”。

在解说之前，教师可以根据课堂各要素综合考虑是否插入若干个类似情境，以感受“这种式子的常见性”。

启发式提问6：解方程的问题我们留到后面讨论，今天首先把方程弄明白。这个叫作“方程”的数学对象与我们之前接触到的“算式”有什么不同呢？

引例：已知丢番图的孩子的寿命是42岁，他只活了丢番图寿命的一半，请问丢番图的寿命是多少？

目的是在感受方程产生必要性的基础上，进一步明确方程方法与算术方法的区别。