论向量在解决高中数学问题中的应用

江苏省徐州市贾汪中学 魏玉礼

向量是现代物理学与数学中的关键工具，将数与形融为一体，不仅有代数的抽象性，还有几何的直观性，是连接两者的天然纽带。在高中教育阶段，向量具有较强的实用性，能用来解决多种数学问题，不仅是有效的解题手段，还可以把数学知识有机串联在一起。因此，在高中数学中，教师需要指导学生学会运用向量解决问题，帮助他们构建完善的知识体系和提高解题能力，从而不仅优化数学教学，更培养学生的数学能力。本文笔者结合教学实际就此略谈点滴感悟，与同行共研。

一、向量知识在解决线性规划问题中的应用

简单线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可用数形结合方法求出。应用向量知识解决线性规划问题时，主要分析有关向量的数量积，将z=ax+by的目标函数用来表示平面内向量AB=（x，y）和AM（a，b）的数量之积。如果|AM|的值固定，x的值是向量AN在向量AM方向投影的倍数，在该情况下,投影的最值点即为最优点。

比如，在教学“向量的线性运算”环节，向量作为一个新的概念，学生开始接触时自然会感到困难，需要学习向量的概念、向量的线性运算和平行向量基本定理等知识。当他们学会向量的加法、减法、数乘向量和向量共线的条件与坐标轴上向量坐标运算等知识后，教师设计题目：如果存在z=x+4y中的未知变量x，y满足以下条件：①x＞1；②x+2y＜3；③x-8y＜0，尝试求出未知数z的最小值和最大值。解析：学生首先需要假设存在点N（x，y）是任意一点，而且点M能够用（2，4）来表示，所以得到z=A·AN，结合向量数量积的几何意义能够轻松计算出：如果N（x，y）在点（2，4）处时，z=x+4y有最小值，即为z=2+4×4=2+16=18；假如N（x，y）在点（2，18）时，z=x+4y有最大值：z=2+4×18=2+72=74。

在数学问题的解决过程中，学生把向量知识很好地应用到解决简单线性规划问题中，思路将会变得更加清晰，会快速确定解题思路和方向，并在一定程度上降低解题难度和提高解题正确率，从而优化问题的解决效率。

二、向量知识在解决常见几何问题中的应用

向量指的是存在方向和大小特征的量，向量大小则指的是该向量的模。在高中数学向量知识中，主要包括共线向量、零向量和相等向量等，当有向量（a，b）（b≠0）时，则a∥b的充要条件是有实数λ，且a=λb。在高中数学教学中，教师可组织学生应用向量解决一些常见的几何问题，包括直线与方程、圆与方程等，为他们提供新颖的解题渠道。

如在进行“直线与方程”的教学时，当学生学习完教材中的知识内容，知道直线的五个方程形式之后，教师可引领学生运用向量知识来解决有关直线与方程的问题。如：已知三角形AOM的顶点分别是A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），点B、C、D则分别是三角形三边AO、AM、OM的中点，据此研究直线BC、BD、CD的方程表达式。解析：由于三角形AOM三个顶点的坐标分别是A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），得出三条边中点B、C、D的坐标分别是（1，-1）、（-2，-1）、（-1，1）。假设存在点P（x，y）位于直线BD上，因为DB∥DB，那么直线BD的方程能够轻松求出，以此类推，采用同样的方法把直线BC和CD的方程计算出来，而且应用直线向量和共线向量将问题进行适当转化，同样可以计算出直线BC和CD的方程。

教学实践中，学生应用向量知识解决关于直线与方程的问题，能够有效培养他们的思维转换能力，将其数学思维锻炼得更加灵活和敏捷，最终快速求出直线方程。为此，我们教师在教学中要契合学生的心理需求，尽可能培养学生的思维，让学生在教师的引导下得以快速发展。

三、向量知识在解决立体几何问题中的应用

立体几何既是高中数学教学中的重点，还是难点，不少空间图形比较抽象复杂，对学生的逻辑思维能力和空间想象能力要求较高，他们在学习和解题过程中均感觉难度较大。对此，高中数学教师在讲授立体几何知识时，需要引领学生把向量知识应用其中，把复杂问题变得简单化，或者借助平面直角坐标系知识，把立体几何问题转换成易于计算的代数问题。

例如，在学习“立体几何”时，教师设计问题：有正方体ABCD-A1B1C1D1，点E是棱DD1的中点，那么在棱C1D1上是否存在一点M，能够让B1M和平面A1BE相互平行，且进行验证。解析：第一步以点A为原点建立空间坐标系，设正方形的棱长是2，点B的坐标是（2，0，0），点B1的坐标是（2，0，2），点E的坐标是（0，2，1），所以BE=（-2，2，1），BA1=（-2，0，2）。设平面A1BE的法向量用M=（x，y，z）来表示，那么m·BE=-2x+2y+z=0，m·B=2x+2z，如果x=1，那么y=32，z=-1，得出m=（1，32，-1）。当点M在棱C1D1上，而且B1M∥平面A1BE，若点M的坐标是（xa，2，2），（0≤xa≤2），有BM=（xa-2，2，2），能够得出m·BM=1×（xa-2）-32×2-（-1）×2=0，则xa=1，即当M是棱C1D1的中点时，B1M和平面A1BE平行。

在上述案例中，当学生应用向量知识解决立体几何问题时，能够有效降低题目的难度，将抽象的立体几何知识变得形象具体，借此锻炼他们的空间想象能力和转换意识，极大地发展学生的解题能力，优化学生的思维品质，从而在不经意间提升了学生的解题能力。

总之，在高中数学教学活动中，向量是相当重要的知识内容，将向量知识渗透在学生平时的解题训练中，不仅可以夯实学生对向量知识本身的理解，还可助推他们的思维能力，优化学生的解题能力，在解决实际问题时有着关键作用。因此，我们教师要引导学生灵活转变解题思路，灵活运用已有知识，在教学中善于将已学知识与新知教学巧妙融合起来，既让新知教学实现积极迁移，更深化学生对旧知的理解。