数学教育中的衔接—ICME-13的第二个小组报告及启示

澳门特别行政区澳门大学教育学院(999078) 江春莲 刘付茵

2016年7月24-31日第13屆国际数学教育大会(ICME-13)在德国汉堡召开,章勤琼和谭莉(2016)对整个会议议程作了介绍,而本文则主要介绍第二个小组报告《数学教育中的衔接**英文为Transition,字面直译可以是转换,但在本文中,结合上下文的情境,有时我们将其翻译为衔接,有时又翻译为过渡和关联.使用“过渡”主要是凸显从低级到高级的思维发展.》的主要内容并结合我国中小学数学课程改革与教学实际情况作些反思.该报告由法国吉莱纳·格艾特(Ghislaine Gueudet)教授主领,成员有西班牙的玛莉安娜·波什(Marrianna Bosch)教授、美国的安杰拉·帝塞萨(Andrea A diSessa)教授、韩国的匡欧南(Oh Nam Kwon)教授和比利时的列文·福斯查菲尔(Lieven Verschaffel)教授.

格艾特教授首先做总陈述,她指出关于衔接的研究非常多,其于2016年7月30号在Springer网站上输入关键字Transition(s)搜索数学教育中的书籍、书中的章节和文章(article),得到2680个结果,其中包括4本书,1180个书的章节和1496篇文章.其中包括:算术结构在算术到代数的过渡中的作用(Warren,2003)、实现到形式化证明的过渡(Moore,1994)、从中学数学到大学数学的衔接中的电子学习:为了什么目的(Bardelle&Di Martino,2012)、《数学实践情境间的衔接》(de Abreu,Bishop&Presmeg,2002)、《处于过渡阶段的数学学习者》(De Abreu,Bishop&Presmeg,2002)、《处于过渡阶段的数学教师》(Fennema&Nelson,1997).

在众多关于数学衔接的研究中,该小组主要讨论了两个,一是作为过渡过程的概念性转换和学习;二是人们在不同的社群中迁移时或在不同的数学实践情境转换时所伴随的衔接.研究主要有三个视角:从发生认识论的视角研究数学内容内在的改变;从认知的视角研究学生学习过程中的变化,特别是思考模式的变化;从社会文化的视角研究不同数学实践间的变化(Gueudet,Bosch,diSessa,Kwon&Verschaffel,2016).接下来是个人报告,下面我们对其依次介绍.

一、较难的数学概念学习中的连续性和不连续性—帝塞萨教授

帝塞萨教授关注的是较难数学概念的学习,即对这些概念理解的变化.如对有理数,在学习分数之前,乘以一个数会得到一个更大的结果;但在有理数范围内,这个规律将不再成立.他认为学生对有些概念的学习存在着顽固的、主要的障碍,学生可以在某个特殊情境下突然领悟,还是一个延伸的、渐进的累积过程?这是非连续派和连续派的主要区别.

帝塞萨教授先从科学教育史的角度介绍非连续派和连续派.托马斯·库恩(Thomas Kuhn)是非连续派的代表,他在《科学革命的结构》一书中认为所有的变化是瞬间完成的,是一种格式塔式的顿悟.该理论的追随者有苏珊·凯里(Susan Carey)、马里亚纳·外瑟尔(Marianne Wiser)和斯特拉·瓦斯尼雅度(Stella Vosniadou)等.斯蒂芬·托尔敏(Stephen Toulmin)则是连续派的代表,他提出概念生态圈(Conceptual Ecology)理论,认为概念是一个移动的意象,概念的转换是一种渐进的演变过程.其追随者有吉姆·米斯特雷尔(Jim Minstrell).连续派中也有人主张知识是由一些小的碎片组成的,它们组成了一个共同体(Knowledge in Pieces Community),代表人物有:帝塞萨教授本人,布鲁斯·雪琳(Bruce Sherin),大卫·哈默(David Hammer)和安德鲁·埃尔比(Andrew Elby).

在数学教育中,与库恩相对应,盖斯顿·巴什拉(Gaston Bachelard)提出了发生认识论障碍(Epistemological Obstacles)理论.他认为学生学习中遇到的困难是认识过程中核心的、持久的、不可回避的问题,学生要完成概念的转换必须要跨越这些认识论障碍,才能从错误走向正确.该理论的追随者有安娜·雪冰斯嘎(Anna Sierpinska),大卫·托尔(David Tall)等.与此相反,另一派则认为概念间的转化是一种渐进的过程.其中一部分人认为知识是零碎的,代表人物有约瑟夫·瓦格纳(Joseph Wagner),马里亚纳·列文(Mariana Levin)和安德鲁·艾萨克(Andrew Izsak),另一部分人则认为知识是附属的(Affiliates),代表人物有理查德·诺斯(Richard Noss),西莉亚·霍伊尔斯(CeliaHoyles)和戴夫·普拉特(DavePratt).

对复杂概念的学习,连续派提出的解决方案是研究从单一意象到动态意象的微观演变的学习过程进行分析,即用现有的实证数据,详细地检查学习过程中一个又一个片刻发生的事情.所以约瑟夫·瓦格纳(Joseph Wagner)提出,要在多种不同的情境中积累学习经验.如学习大数定律,瓦格纳首先让学生做抛硬币的实验,计算正面朝上的频率,学生发现随着试验次数的增多,频率越来越接近于50%.接着瓦格纳将抛硬币实验改为轮盘实验(灰:白=7:3),学生比较难发现其中的规律,于是瓦格纳让学生用计算机模拟重复实验并计算转盘转到某种颜色区域的频率,通过改变实验的重复次数来统计频率分布图.在这种新的情境下,学生发现了与掷硬币实验相似的结果,也就是随着实验次数的增多,频率越来越接近概率的理论值,即大数定律.瓦格纳也常常提出一些同构的问题引导学生思考,如若想得到远离期望值(如转盘中的80%)的结果,那么应该做多少次实验?答案是选择次数较少的实验.瓦格纳反问学生,如果要调查大学学生的平均身高,但却不能保证所有的人都会参与调查,那么应该选大样本还是小样本呢?瓦格纳通过多种同构的情境说明如何将从一个情境中形成的概念迁移到另外一个情境中,帮助学生积累学习经验.

最后,帝塞萨教授总结说,他是支持连续派的,他还预言“连续主义一定会取得胜利”.对连续派来说,可以利用多种资源帮助学生的概念学习,这些资源甚至包括学生的学习障碍和错误理解;学习是一个积累的、多情境的体验过程;要处理好学生的多样性,没有一种方法是适合所有学生的,所以需要为不同的学生,选择不同的资源作为学习路径.

二、中学数学与大学数学的双重不连续性—匡欧南教授

匡欧南教授以克莱因在《高观点下的初等数学》里讲的双重不连续性开始她的报告:“大学新生一入学就发现面对的数学问题好像跟中学里学过的东西一点联系也没有,自然地,他们很快便完全忘记了中学里学过的东西.毕业后当上了教师,突然发觉要依循老套的方法讲授传统的初等数学.由于缺乏指导,他难以辨明当前的数学内容和曾经在大学学习的高等数学有什么联系,于是很快便接受了老套的教学方式.大学数学教育顶多成为一种愉快的回忆,但对中学教学毫无影响.”

匡欧南教授用数列的极限定义来说明这种双重不连续性.在中学数学中,其定义为:随着n的增大,xn越来越接近于x.而在大学数学中,其定义为:∀ϵ＞0,∃N ∈N,使得∀n＞N,都有|xn−x|＜ϵ.准教师学习了大学数学之后,由于二者的不连续性,很难将其运用到中学数学的教学当中.教师究竟需要什么知识才能更好地从事教学?研究者从不同的角度研究教师需具备的知识,如:(1)舒尔曼(Shulman,1986)的学科教学知识(Pedagogical Content Knowledge,简写为PCK);(2)波尔及其合作者(Ball,Thames&Phelps,2005;Ball et al.,2009)提出的发生在教学情境中特定的数学知识,即用于教学的数学知识(Mathematical Knowledge for Teaching,简写为MKT);(3)德雷尔,林德梅耶尔和海因策(Dreher,Lindmeier&Heinz,2015)提出的与学校相关的内容知识(School Related Content Knowledge,简写为SRCK),指的是应用于学校情境的以教学为目的的一种内容知识;(4)汤普森(Thompson,2015a)提出的教授中学数学的数学意义(Mathematical Meaning for Teaching secondary mathematics,简写为MMTsm),他强调教师应该知道如何做以及为什么要这么做的知识.美国和韩国参加了汤普森的研究(Thompson,2015b),希望2020年将有新的研究成果可以汇报.

也有一些大型的研究数学教师知识的研究,如:(1)21世纪的数学教学.该研究比较了六个国家(即保加利亚、德国、韩国、墨西哥、台湾和美国)的预备教师关于教学和学习的知识和信念,研究发现这些国家在教师准备方面确实存在着差距;(2)IEA的关于教师教育和发展的研究:学习如何教数学(The Teacher Education and Development Study:Learning to Teach Mathematics,即TEDS-M),该研究从教师知识和信念两方面考查了17个国家教师教育的成果;(3)激发认知的教学和学生数学素养的发展(Cognitive Activating Instruction,and the Development of Students’Mathematical Literacy,即COACTIV),研究贯彻理解的教学所需的数学知识,发现课程内容知识和教学内容知识可以从结构上进行区分.

上述研究发现,教师准备方面的发展有如下不足:(1)与教师自身的学习经验和之后的专业社会化相比,教师培训是一项很弱的干预;(2)未来的数学教师并没有获得较深的数学知识,特别是那些可以用来帮助学生消除错误理解和有能力地解决初等数学问题所需的数学知识;(3)数学教育专业学生所学习的数学课程与数学专业学生所学习的课程没有本质的区别;(3)未能为准教师提供足够的机会深度学习学科内容知识和学科教学知识;(4)教师教育课程与教学实践之间缺乏联系.针对这些不足,我们可以从如下几个方面努力:(1)帮助预备教师建立大学数学和中学数学(通常在第1-2学期进行)的联系,重点放在直接明确地建立在不同环境中经历的数学之间的联系;(2)针对克莱因提出的双重不连续性,进行大学数学课程的教学;(3)开发一些数学和数学教学法课程,明确地将数学知识和数学教学知识整合起来;(4)开发“核心课程”,帮助准教师学习以一种更深入、更敏锐和更自觉的方式看待学校数学.

总的来说,如何解决这种双重不连续性问题,匡欧南教授认为可以研究如下四个问题:(1)在某些特定的专题中,如何促进从中学到高等教育的过渡?(2)在中学可以做些什么帮助学生能够更容易地学习大学里抽象、严谨的数学?(3)如何在不改变内容本质的前提下将大学的高等数学转换成学生能够理解的中学数学?(4)如何平衡教师教育中数学教师所需的不同种类的知识?

三、教学组织之间的衔接—波什教授

波什教授首先指出个体的学习路径(包括潜力、能力和困难)由其所参与组织的活动和情境所塑造.这里的“组织”涉及的范围很广,包括小学教育、班级、学生群体、家庭、社会、研究共同体、教师协会等.因此,关于教学组织的衔接可以从七个不同的层面进行分析,分别是社会(如公民教育、优录择校问题和职业教育等)、学校(如教室、大大小小的群体和室外活动)、教学(讲授式、探究式等)、学科(大众数学和为少数上大学的人做准备的数学)、不同的学科领域(早期代数、初等代数和抽象代数等)、内容模块(函数、微积分和分析)和主题.

波什教授关注的是从小学到中学和从中学到大学数学学习的衔接.从小学到中学的主要区别体现在教学法和学科两个方面.在教学法方面,中学的师生互动比小学的少,学生的自主性提高,教学法从较主动变为更多地被动接受.而在学科方面,小学的学科界限不是很明显,而中学则划分出许多不同的学科,所以小学老师通常是全科,而中学则是专科专教.为促进小学到初中的衔接,我们可以:加强教师间的联系,在初中阶段开展更多的公开活动,减少学科间的隔离;在课程内容方面,需要加强早期代数的渗透.这些建议主要集中在教学法和学校的氛围层面,主要目的是通过调整中学教育,让其更贴近小学教育.

奇怪的是,中学与大学的区别和小学与中学的区别很相似.在教学法方面,大学里的师生互动又比中学的少,学生的自主性进一步提高,学生被动地接受学习的情况更甚.在学科方面,学科划分更细,大学教授更多地采用讲授式教学.在中学到大学的衔接的研究中,有些是关于特定的主题的,如从中学的微积分到大学《数学分析》课程的衔接、从中学代数和几何到大学线性代数的衔接、教学重点从程序化的知识到形式化的知识过渡.为促进中学到大学数学的过渡,我们可以从两个方面努力,一是促进中学教师的专业发展;二是提供一些衔接课程,帮助学生巩固基础知识并向学生介绍一些数学的理论化方法,以帮助学生顺利过渡到大学数学课程的学习.波什教授指出,这些建议强调改变中学数学教育以便学生适应大学数学教育,而没有质疑或讨论大学数学课程.这样一来,中学数学教育就处于一个十分尴尬的位置,既要贴近小学数学,符合“大众数学”的精神;又要承接大学,为中学后的教育做准备.

波什教授提出如下四个可继续研究的问题:(1)我们是从哪个组织的角度进行假设或质疑的?(2)如何对高级别的组织进行批判性分析?要注意理论框架和研究共同体的作用.(3)如何根据特定的数学水平和教学生态圈提出切合实际的建议?(4)从大学的角度来看似乎是最合理的,但我们要谨慎,如何做才能避免强化中学教育的入门功能,而又不削弱它的公民教育功能呢?

四、校内外数学之间的关联—福斯查菲尔教授

福斯查菲尔教授指出关于校内外数学之间的关联很多,但他的报告只关注其中的两个方面,一是从先前的生活经验到学校数学的关联,如佩里,麦克唐纳和杰尔瓦索尼(Perry,MacDonald&Gervasoni,2015)主编的《从先前的生活经验到学校数学的关联》;二是校内外数学之间的关联,如努涅斯,迪亚斯谢里曼和喀拉欸(Nunes,Schliemann&Carraher,1993)共同编写的《校内外数学之间的联系》.福斯查菲尔教授介绍了第二本书的内容,包括如下三个部分:(1)与学校数学相比,校外数学有什么不同;(2)描述如何建立校内外数学之间的联系;(3)对促进和建立关联尝试的总结.同时,他也指出了这本书的两个缺点:一是没有充分注意到形式的多样性,如不同的教学目标和教学内容;二是没有注意到信息技术的影响.

4.1 校外数学的特点

上世纪80年代以来民族数学的研究表明,学生在校外(如炒菜、打篮球等日常活动)可以实践、获得许多数学知识并能灵活迁移到新的情境中.开始时这些研究将校内外数学描述成两种对立的东西.从思维、学习和教学的角度来说,与校内数学相比,校外学习的数学更真实、更有意义,也更有效率.福斯查菲尔教授指出,这种描述有将校外数学美化的嫌疑.取而代之,该书则能对不同的数学实践情境进行客观的描述,超出上述的二元思考更多地关注在各种“中间状态”(如职业教育)下如何建立校内外数学之间的联系.

4.2 校内外数学之间的双向联系

福斯查菲尔教授用如下的例子进行说明:一个人想要用一根足够长的绳子连接两个相距12米的电线杆,但他只有一些长度为1.5米的绳子.那么他需要将多少条这样的绳子绑在一起才能连接两根电线杆?对这一问题,很多学生会用算式12÷1.5=8得到需要8根绳子,而不考虑两个绳子之间打一个结所需的长度,在一个对五年级学生的测试中,没有一个人能给出符合实际情境的解答.在福斯查菲尔,格里尔和哥特(Verschaffel,Greer&de Corte,2000)的那本书中有很多这样的例子.这些例子说明学生在使用数学知识解决实际问题时完全不考虑实际情境的限制.

尽管在古典心理学中没有“transfer”一词,但实际上在古典心理学中却有用一些名词来表示衔接的,如跨界(boundary crossing)、特定情境中的抽象化(situated abstraction)、主体化(subjectification).对人们如何建立校内外数学之间的联系进行分析,不难发现人是以建设性的、积极的方式不断将其在各种情境中数学的学习经验进行联结和整合.

4.3 促进和建立关联的尝试

如何促进和建立校内外数学之间的关联,福斯查菲尔教授介绍了如下的三种方法:(1)将校外的现实引入数学课程,以鼓励更有意义的、有目的的活动;(2)通过加强家校之间多渠道的交流与合作,促进学生的家庭数学和学校文化之间的关联;(3)寻找改变学校数学的方式,使其与学生未来的工作和其他日常活动的关系更密切.

五、集体讨论和总结

最后的大会讨论集中在如下四个问题:(1)从算术到代数的过渡;(2)有哪些适当的、有希望的“边界对象”能用来帮助学生完成过渡?(3)在概念学习过程中,学习机械性的、程序性的运算有什么作用?它对学习过程的连续性/不连续性有何影响?(4)如果要顺利完成过渡,学生可能扮演什么样的角色?

5.1 从算术到代数的过渡

波什教授从教学组织之间衔接的角度回答了这个问题.她首先谈了为什么要提这个问题,为什么不是从代数到函数,几何到线性代数等其它数学.这主要是因为在现代数学课程改革之前,代数是中学后教育的门槛.大众数学运动之后,学生在中学学习算术和少量的代数,但只有少部分人修读代数.接着波什教授谈到了解决方案,从组织的角度来看,重点应放在课程设计方面,什么是算术,什么是代数,我们希望学生学习什么样的代数?是代数运算(如因式分解)?还是代数结构(如交换律)?还是表征现实世界模型的函数?这些问题各个国家的处理方式之间有很大的不同.

帝塞萨教授认为这个问题问得非常好,可以从认知的角度来回答,算术和代数是两个大的、完全不同的概念范畴,数学教育研究者更多地关注算术和代数的差异,即转换过程中的不连续性,而实际上我们可以从多种角度促进孩子的代数思维发展,如从表征的角度,他们发现六年级的孩子就能学习各种不同的表征方法.帝塞萨教授的学生对前代数(pre-algebra)的研究表明,学生同时发展了过程性和概念性的理解,很多小的情境化学习贯穿整个学习过程.

5.2 适当的“边界对象”

关于“边界对象”,福斯查菲尔教授认为首先应该是文字题.早在1000多年前,文字题就被用来帮助学生建立学校数学和现实世界之间的联系.虽然许多研究表明文字题并没有起到“边界对象”的作用,解文字题时学生常常使用一些不成熟的策略,而不是通过数学建模来解决.如前所述,学生完全忽视现实世界问题需要考虑的条件,将其与现实世界完全割裂开来.为使学校数学更真实和有意义,可以考虑使用现代资讯科技,也可以使用学生读物、日历等其他的资源,帮助学生认识到校内数学和校外现实世界中问题解决之间的联系与区别.

波什教授认为文字题扮演了数学模型的角色,如除法可以是生活中的等分问题.她也谈到了为大一新生设置的衔接课程没有考虑到中学学了什么,而只是从学习大学数学的需要出发(这意味着不改变大学课程),从学生知识准备的角度将需要补充的内容补充进来,而较少涉及中学数学与大学数学的联系,所以她强调中学数学教师和大学数学教授之间也应当加强交流和联系.

5.3 程序性知识和概念性理解

对第三个问题,帝塞萨教授首先分享了一件让他十分震惊的事情.在他开始做大学教授的前三年,他需要教授大一的物理入门课程,于是他得以访谈很多学生,问他们在高中的物理课程中学到了什么?学生的回答出奇地一致,什么都没有学到!考试时只需要选择正确的公式,并代入数值进行计算便能得到正确的答案.尽管中学学生在高中学习了物理,甚至多数的拿到了A.与物理一样,数学中的概念性理解比过程性的计算更重要,如果能在教学中将重点放在概念性理解上,学生将会更投入.

匡欧南教授分享了她在15年前的一项改革大学《微分方程》课程的研究.他们基于学习理论和教学设计理论设计了《探究导向的微分方程》课程,实验组的学生不仅在后测中的表现优于对比组的学生,而且在一年后的重测中,其表现也比对比组好,得到的结果非常鼓舞人心.在探究的过程中,学生积极参与讨论,所以她认为学生之间的对话可以帮助学生完成从机械性的操作运算到概念性理解的过渡.

5.4 师生的角色

对第四个问题,匡欧南教授认为应该改成“要顺利完成过渡,教师可以扮演什么样的角色?”因为她认为教师比学生的作用更重要,或至少同样大.接着她谈到了中学数学和大学数学之间的关系.她认为数学不能简单地分割为中学数学和大学数学,从某种程度上来说,中学数学是大学数学的一部份.大学数学教授需要站在一个更高的观点看待中学数学,帮助学生认识到中学数学概念拓展、延伸到大学水平的必要,而且要懂得中学数学是如何与大学数学相关联的,为什么要不相同,从而帮助学生更好地从事中学数学教学.

福斯查菲尔教授认为学生对促进过渡的帮助很大,因为学生能够将文化、学校数学与家庭生活等生动地联系起来.他们不仅能将课外的东西带到课内来,也能将课内的延伸到课外.当然,教师和教材也应该扮演这种链接的作用,老师需要理解学生的家庭生活,而家庭也应对学校和教师保持一定的开放性.

帝塞萨教授认为学生的作用可以是正面的,也可以负面的.他以一个物理系的研究生为例进行说明.该学生组建了一个学生组织,旨在帮助中学生学习数学、科学和技术,特别是中学女生.学生碰到新的、综合性比较强的任务时会比较消极,但面对机械的、脱离现实的学习时,他们又变得无法忍受,表现出比较正面的作用.

5.5 总结

最后,格艾特教授进行总结,提出未来在这方面研究所面临的三个挑战:(1)超出初始状态/终止状态的分析,建构各种方法来理解复杂的衔接过程本身;(2)识别不同情境之间的共性,确定其给衔接创造的机遇;(3)开发可以促进衔接的资源,交流研究成果,设计教师教育课程,促进不同来自背景的人之间的沟通.

六、启示

在此小组报告中,几位教授分别介绍了核心概念的学习、跨越不同情境的数学学习,不同学段数学学习内容之间的衔接、以及校内外数学之间的联系,涵盖的内容比较广泛.作为中小学教师,为提高数学教育质量,我们应当:(1)了解学生的校外生活,将课堂建立在学生的日常生活之上,让学生学会数学建模,学会数学地处理问题的方法;(2)注重数学前后知识之间的联系,如从整数到分数,整数到小数,分数和小数等,它们之间都有怎样的联系,各自又有哪些独特的应用,在教学中帮助学生顺利完成从简单到复杂的过渡.(3)数学是描述现实世界的模型,有着很广泛的应用,同一个模型可以应用到多种情境之中,所以教学中我们要有意识地给学生提供多样化的建模和应用情境,帮助学生建立数学和现实世界的联系,从而提高学生的数学能力;(4)教师在教学的同时,也研究一些数学问题,提高自己的数学修养,站在更高的观点才能更深刻地理解抽象的数学概念、数学原理和方法.

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