拓展，仍需坚守学科特质——兼谈什么是一堂好的数学拓展课

潘红娟

数学拓展性课程，正以其激发数学兴趣、关注活动经验和落实“核心素养”之取向，为广大教师认同、接受、践行并探索。的确，拓展性课程，不仅代表了国际课程发展的趋势，更是突破了原有数学基础性课程结构的严谨与抽象，代之以丰富而开放的学习目标、方式与内容，成为学生积极情感体验、基本素养落实和整体能力发展的有效载体。

但是，笔者在当前的课例研究中发现，不少教师在“追求趣味”“寻求整合”“凸显拓展”的同时，于学科定位上却稍显乏力，以至于将数学拓展课等同于“绘本课”“活动课”“游戏课”。作为特定学科的拓展课，必然有其学科的气质与追求。数学拓展课，究竟该选择怎样的内容？教学中应注意什么？如何突出数学味和思维取向？我们不妨以《漂亮的三角形》与《棋盘中的奥秘》两节课为例，探讨这一课型的价值取向与教学策略。

一、目标：突破知识本位，但仍应立足数学认知与思维发展

数学拓展性课程，其教育价值远高于知识技能方面的所得。数学拓展性课程不仅强调知识结果的单纯获取、记忆与固化，以及技能的掌握与娴熟，还定位于提高兴趣、提升能力、积累经验、发展思维。那么，着眼于整体素养的高位目标，是不是可以不用依托于数学认知呢？显然不是。目标定位上，我们依然应该追求“整体发展”与“学科认知”两者的和谐生长，而不是脱离于数学认知与思维提升的虚空发展。

以《漂亮的三角形》一课为例，教师不囿于三角形知识的获取，而是以绘本阅读为活动贯穿，将阅读兴趣的激发、阅读方法的指导、信息获取能力的培养、交流表达与创新能力的提升等方面作为过程性目标加以重视。同时，我们看到其数学认知线也十分清晰：1.体验三角形的稳定性；2.基于三角形的基本特征进行判断与分类；3.通过三角形的拼组体会密铺；4.多边形的初步渗透，等等。尤其是“三角形的判断与分类”环节中，教师提供了外延丰富的各类三角形素材，引导学生始终围绕三角形的概念内涵进行辨析，从而帮助学生建构完善的三角形概念。学生明确，只要符合“三条边、三个角”的特征，即使形状、方向、大小变了，仍然是三角形。在不同的三角形分类中，引导学生描述“有一个直角”“三个角都相等”“有两个角相等、两条边相等”，衔接于经验，但又凸显本质的数学表达，为今后学习“直角三角形”“等边三角形”“等腰三角形”等相关概念做了极好的铺垫。因此，我们说，阅读过程中，一方面着眼于培养阅读兴趣、阅读能力、表达能力、空间想象；另一方面，将活动与交流立足于数学知识的本质，渗透、理解与掌握才可谓细腻、深刻、扎实。

同样，《棋盘中的奥秘》一课，教师对“必胜点”的掌握、是否对弈获胜，并不作为教学的着力点，而是力图在引导学生不断经历出错、反思、调整的过程，最终实现学生在“倒推策略”（从结果开始思考起）“反思意识”“推理能力”等可持续的方法、能力、意识等方面的培养，才是真正的目标所在。当然，如果以游戏体验、经历感受为由，而忽视全体学生的理解与跟进，也会使学生走入策略理解肤浅、推理能力发展不力的境地。因此，教学中，教师依托精巧材料，促进环节目标层层推进。环节一：回顾微课内容，理解游戏规则，定义必胜点；环节二：“8×8”棋盘中进一步理解规则，探究必胜策略，体验尝试倒推；环节三：问题变式，“5×5”棋盘中巩固倒推策略，经历完整推理；环节四：继续变式，“8×8-5×5”棋盘中引发认知冲突，体验策略的适用性与推理思考的严谨性。可见，只有将发展性目标进行细化与分解，策略的内化与应用、思维方法与能力的培养才不会成为一句空话。

二、任务：关注趣味互动，但仍应具有复杂思维的挑战与空间

如果将拓展性数学任务与一般的数学任务进行比较，我们可以从情境性、不确定性、任务的复杂性等维度加以区分。一般的数学任务，教师直接发出指令，告知学生解决问题的要求与方法，且一个任务专注于特定的知识技能；而拓展性数学任务，倡导在情境中隐含数学的知识与方法，问题和解决办法具有一定的空间，任务具有一定的复杂性和足够的挑战性。

从《漂亮的三角形》《棋盘中的奥秘》两节课看，拓展性任务的特征十分明显。如《棋盘中的奥秘》一课，“教师和学生在8×8的棋盘上玩游戏，在棋盘的右下角放一颗棋子，以它为起点，两人轮流在这个棋盘上下棋，规定只能下在前一颗棋子的上面、左面或者左上方距离一格处，先占领左上角者获胜。问教师下到哪个点时就一定能赢？”这无疑就是一个好的拓展性任务。

一方面，这是学生感兴趣的任务。走棋子游戏的问题情境，学生十分熟悉，但在自定义的规则下，又使得游戏具有了某种不可知的神秘性，从实际教学看，每位学生对这一游戏及问题的研究都兴趣盎然、积极参与。

另一方面，任务极具复杂性与挑战性。笔者以为，低水平的认知任务，不可能有高水平的参与，如果教学目标要突破知识本位，着力于提高学生思考、推理、解决问题的能力，那么问题就应该具有让学生参与更复杂思维活动的潜力。棋盘游戏，这显然是一个富含数学策略与逻辑推理的好练习。学生尝试解决问题时，没有直接可利用的知识、方法与公式，所有的学生都经历“盲目对弈——出错调整——相互启发——顿悟要点——运用策略”的过程。从“毫无方法”“疑惑不解”到“豁然开朗”，学生真正经历了自主摸索的过程。值得借鉴的是，探索过程中，教师为学生提供了可操作的棋盘与材料，提供同桌对弈的充分体验，正是基于实践，学生对于“如何获胜”“哪些点是获胜的重要点”“如何利用倒推寻找必胜点”才有了最为真切的体验。

三、过程：拉长探索过程，但仍应倡导必要导学与顺势引领

好的探究过程，必然具有一定的思维含量，一节拓展课是否具有思维含量，取决于两个要素：一方面，是否有足够的独立思考的时间；另一方面，是否有基于独立思考之上的有效思维的碰撞。这两个方面都有赖于教师有效的“导学”。“导”在引发独立思考的任务设计、“导”在促进讨论交流的问题引领，“导”在关键思考处的画龙点睛。

首先，想要激活学生思考，关键在于必须树立以“学习者”为中心的意识，必须有引导参与的任务驱动，教师应该善于设置让学习者感到值得思考与行动的参与点。例如在《漂亮的三角形》一课中，教师引用绘本以故事性取胜，但如何将绘本故事的静态内容转化为学生可思考、可探究的活动，则需要教师有效设计。问题1：“推一推四边形，发现了什么？对角加一根木板，再推一推，有什么感觉？”；问题2：“你可以用三张正方形纸创造出三角形吗？”问题3：“找到了三种不同的三角形，用很多个这样的三角形，能拼成更大的图形吗？”“作品二中，能找到多少个三角形？”从纷繁的故事情节中提取出具有数学特性的材料，转化成可供学生思考与活动的问题，这难道不是教师有力导学的成果吗？教师在过程展开中所做的，正是：操作活动数学化、数学材料逻辑化、数学知识实践化。

其次，教师能为学习者提供及时交流、诱发碰撞的机会。《棋盘中的奥秘》一课，大任务大空间下，教师如何循着学生的思路在关键处进行设问、点拨、引导？

我们来看：

“看了微课，哪位同学能告诉我，红红为什么会赢？”——引出“必胜点”；

“想要下到这个必胜点？又要下到哪些点呢？”——引向“倒推”思路；

“请找到这个点（错误点）的同学来说说是怎么想的”——经历“推理”，明确“错误”；

“还发现哪些必胜点？说说为什么”（生：这个点是必胜点，因为如果对方……那么我就……，如果对方……那么我就……）——指向“逻辑推理能力培养”；

“你不是已经找到必胜点了吗？为什么还会输？”（变式棋盘中）——指向“思维严谨”；

……

大任务下，这样的师生对话与思维碰撞充满了课堂，教师或质疑、或点拨、或反问、或设梯，无不显示出教师很强的导学能力与导学艺术。

或许，材料的精心提取与活动转化，适宜的思维逗留与思考设置，必要的调控导学与顺势引领，就是成就充满思维含量的“数学拓展性课堂”不可或缺的因素。