基于极大似然估计的新息自适应滤波算法

张玉龙， 王 茁， 杨 巍

(1.海军驻哈尔滨地区舰船配套军事代表室，黑龙江 哈尔滨 150046；2.哈尔滨工业大学 电气工程及自动化学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

0 引 言

在常规卡尔曼滤波器中，根据先验知识确定系统噪声和量测噪声的协方差阵后，噪声协方差阵就一直作为常值参与滤波递推过程。但在实际应用中，噪声统计信息通常难以准确获取，而且其统计特性受环境温度、载体机动等外界因素影响会发生变化[1,2]。此时，常规卡尔曼滤波并不能根据外部量测数据来修正其噪声参数，使得估计误差不断积累，导致滤波精度下降，甚至引起滤波发散[3,4]。

近年来，为了解决常规卡尔曼滤波在噪声统计信息未知或者时变情况下存在的问题，相继提出了各种自适应滤波算法，主要包括基于极大后验估计的Sage-Husa自适应滤波[5]、基于极大似然估计(maximum likelihood estimation,MLE)的自适应滤波[6]以及各种渐消自适应滤波[7]等。其中，Sage-Husa自适应滤波能够通过实时估计噪声的统计特性提高滤波器的估计精度，但噪声统计信息估值器常处于临界稳定状态[8],容易导致滤波器发散；渐消自适应滤波通过增大滤波一步预测均方误差阵提高新近量测数据权重，但标量渐消因子的计算过程较为繁琐[9]，而且对各滤波通道具有相同调节能力，不利于改善滤波器的稳定性和精度；常规的MLE自适应滤波虽然能够在线估计与修正噪声统计特性的二阶矩，但是需要依赖于准确的新息协方差估计值，而目前利用开窗法得到的新息协方差估值器并不能突出滑动窗口内新近协方差序列的作用[10]，限制了进一步提高其估计精度。

为了提高滤波器在噪声统计信息未知或者时变情况下的估计精度，首先本文在得到基于极大似然估计的新息协方差估值器后，提出了一种基于限定记忆指数衰减加权的改进算法, 利用新息协方差的指数加权值代替其算数平均值，提高了新息估计的精度。对捷联惯性导航系统/全球定位系统(strapdown inertial navigation system/global positioning system,SINS/GPS)组合导航系统的仿真表明:与基于MLE自适应滤波相比，本文算法在噪声统计信息未知或者时变情况下具有更强的鲁棒性，而且滤波精度得到了显著提高。

1 基于MLE的新息协方差估值器

考查动态离散系统，其状态方程和量测方程分别满足

Xk=Φk,k-1Xk-1+Γk-1Wk-1

(1)

Zk=HkXk+Vk

(2)

式中Xk为n维状态序列；Φk,k-1为n×n阶一步转移矩阵;Γk为n×p阶系统噪声系数阵;Zk为m维量测序列;Hk为m×n阶量测阵;Wk为p维系统噪声序列;Vk为m维量测噪声序列。Wk和Vk是不相关的高斯白噪声，噪声统计特性满足

E[W(k)]=0,Cov[W(k),W(j)]=Q(k)δkj

E[V(k)]=0,Cov[V(k),V(j)]=R(k)δkj

Cov[W(k),V(j)]=0

式中δkj为Kronecker-δ函数；假定协方差阵Qk为m×n阶非负定阵；Rk为m×m阶正定阵。

设状态一步预测值为

(3)

状态估计值为

(4)

式中

(5)

εk=Zk-Hkk/k-1

(6)

式中Kk为滤波增益矩阵；Pk/k-1为一步预测均方误差;εk为新息序列，且其协方差理论值满足

(7)

(8)

将式(8)代入式(5)中，即可得到简化的滤波增益矩阵

(9)

在新息自适应滤波器中由式(9)代替式(5)，即利用新息协方差的实际估计值代替其理论估计值，可以加快滤波器的收敛速度，同时修正由于噪声统计特性未知或者时变而引入的估计误差，改善滤波精度。下面将利用极大似然估计证明式(8)的结论。

极大似然估计是从系统量测量出现概率最大的角度进行估计，在k时刻ζ条件下Z的条件概率密度函数满足

(10)

式中ζ为系统参数；m为量测阵维数；|·|为矩阵行列式。

对式(10)取对数

(11)

对式(11)进行累加运算，求取和式的极大值可转化为

(12)

(13)

最终得到基于极大似然估计的新息协方差估值器，其表达式如式(8)所示。

通过式(8)发现，新息协方差在k时刻的估计值k是对先前所有时刻新息协方差的算数平均，即先前所有数据具有相同的利用权重；但对于动态系统而言，需要更加强调新近新息序列在滤波器中的作用，为此文献[11]采用了开窗法求取新息协方差的估计值，即对限定长度的滑动窗口内的新息协方差进行算数平均，其表达式为

(14)

式中N为滑动窗口长度。

由式(14)可以看出，利用开窗法求取新息协方差估计值实质上仅截取了新近一段长度为N的新息协方差序列，并对其进行算数平均，但仍未提高滑动窗口内新近数据的利用权重。

为此，本文提出了一种基于限定记忆指数衰减加权的新息协方差估值器,通过对滑窗内数据进行指数衰减加权，突出新近数据的作用。

2 基于限定记忆指数加权的新息协方差值器

考察限定记忆长度为N的新息协方差序列，为提高该序列中新近数据的利用权重，将当前时刻新息协方差权重看作基准，并依次对滑动窗口内的先前协方差进行指数衰减加权，最终得到新息协方差在当前时刻的估计值。

当k>N时，选取加权系数{αi}，在k时刻使之满足

于是有

(15)

(16)

对于k时刻的新息协方差估计值k满足

(17)

将αi展开并代入式(17)，整理得到

(18)

式(18)即基于限定记忆指数加权的新息协方差估值器在k时刻的表达式。

同理，对于k-1时刻的新息协方差估计值k-1成立

(19)

由式(18)、式(19)可以得到限定记忆指数加权的新息协方差估值器的递推形式

(20)

另外，当k≤N时，新息协方差估计值则取其极大似然估计值，其表达式如式(8)所示。

将式(20)代入式(9)，用基于限定记忆指数加权的新息协方差估计值代替滑窗内新息协方差序列的算数平均值，不仅可以增加新近量测数据在滤波器中的利用权重，同时还可以提高新息协方差估计值的精度。

3 仿真结果与分析

为了验证本文提出的基于极大似然估计的新息自适应滤波算法在噪声统计信息未知和时变情况下的滤波性能，设置在SINS/GPS组合导航系统中进行仿真实验，并针对两种情况，进行了2组仿真实验。

实验选取SINS为主导航系统，速度误差、位置误差以及失准角为状态向量，并根据SINS误差方程建立滤波器的状态方程，GPS作为辅助导航系统提供量测信息，SINS/GPS组合导航系统模型具体参数参见文献[12]，利用输出反馈修正SINS输出的导航参数。分别采用文献[10]基于MLE自适应滤波算法和本文提出的基于极大似然估计的新息自适应滤波算法对载体的速度及位置误差等参数进行估计，滤波算法性能可以通过SINS/GPS组合导航系统速度及位置的估计误差衡量。其中，本文算法的滤波参数中衰减因子取b=0.7，滑动窗口长度取N=15；MLE自适应滤波的滑动窗口长度取M=20。仿真条件设置如下：载体运动速度为(3m/s,4m/s,0m/s),姿态角为(1°,1°,5°),初始经纬度为(126.67°,45.77°);仿真时间为500s,采样周期为0.1s；滤波器初始参数设置如下

P(0)=diag{(20m/Re)2,(20m/Re)2,(0.1m/s)2,

(0.1m/s)2,(0.1°)2,(0.1°)2,(0.1°)2}

Q(0)=diag{(100μg)2,(100μg)2,(0.01°/h)2,

(0.01°/h)2,(0.01°/h)2}

R(0)=diag{(0.1m/s)2,(0.1m/s)2}

式中Re为地球半径，Re=6378393m。

3.1 量测噪声协方差未知情况下仿真

由于缺乏相关的先验信息等因素导致无法得到实际量测噪声的统计特性；针对量测噪声协方差未知的情况，实验选取滤波器中量测噪声协方差初值为R=0.01R(0)，滤波结果如图1所示。

图1 噪声统计信息未知滤波性能

可以看出:在量测噪声统计信息未知条件下，MLE自适应滤波算法中速度估计误差在前200s出现较大的波动，这是由于滤波器中量测噪声协方差初值设置不准确，虽然经过一段时间的自适应调节后逐渐达到收敛，但受其影响，位置估计误差不断积累；而本文的新息自适应滤波算法能够利用新息协方差的估计值直接修正滤波增益矩阵，经过较短时间的调节就能克服由量测噪声不准确引起的干扰，整个过程变化较为平稳，位置估计误差也较小。

3.2 量测噪声协方差时变情况下仿真

受环境温度、载体机动等外界因素影响导致量测噪声协方差不再保持常值，而是随时间变化；为此，仿真实验设置了3组不同强度的量测噪声：幅值在50～100s变为R=40R(0)，在300～320s变为R=20R(0)，其余时间段幅值R=R(0)，滤波结果如图2所示。

图2 噪声统计信息时变滤波性能

可以看出:在量测噪声时变情况下， MLE自适应滤波的估计误差波动幅度较大：在50～150s处出现幅值较大的锯齿状速度估计误差，而且位置误差也出现较大幅值的波动，纬度误差在300s后显著增大。对于本文的新息自适应滤波，虽然在量测噪声幅值变化时间段出现了一定的扰动，但幅值较小，而且经过很短时间的调节后便收敛于稳态，这是因为其基于限定记忆指数加权的新息协方差估值器能够充分利用滑动窗口内新近新息协方差序列的作用，根据新近的量测信息及时地修正滤波增益矩阵，从而克服了由噪声时变带来的影响。

4 结 论

针对噪声统计信息未知或者时变情况下，常规卡尔曼滤波估计精度下降甚至发散的问题，提出了一种基于极大似然估计的新息自适应滤波算法。算法通过引入限定记忆指数衰减加权法来修正由基于极大似然估计得到的新息协方差估值器，利用新息协方差的指数加权值代替其算数平均值，增加滑动窗口内新近数据的权重，提高新息协方差估计值的准确性。对SINS/GPS组合导航系统的仿真实验验证了本文算法具有更强的鲁棒性和更高的滤波精度。

[1] Kwok C,Dev K,Seebauer E G,et al.Maximum a posteriori estimation of activation energies that control silicon self-diffu-sion[J].Automatica,2008,44(9):2241-2247.

[2] Karasalo M,Hu X.An optimization approach to adaptive Kalman filtering[J].Automatica,2011,47(8):1785-1793.

[3] Xiong K,Liu L D,Zhang H Y.Modified unscented Kalman filtering and its application in autonomous satellite navigation[J].Aerospace Science and Technology,2009,13(4):238-246.

[4] 王小旭，赵 琳.自适应融合滤波算法及其在INS/GPS 组合导航中的应用[J].宇航学报,2010,31(11):2503-2511.

[5] Sage A P,Husa G W.Algorithms for sequential adaptive estimation of prior statistics[C]∥Proc of8th IEEE Symposium on Adaptive Processes,1969:61.

[6] 岳晓奎,袁建平.一种基于极大似然准则的自适应卡尔曼滤波算法[J].西北工业大学学报,2005,23(4):469-474.

[7] Yang Y,Gao W.An optimal adaptive Kalman filter[J].Journal of Geodesy,2006,80(4):177-183.

[8] 张常云.自适应滤波方法研究[J].航空学报,1998,19(7):96-99.

[9] 徐定杰，贺 瑞，沈 峰,等.基于新息协方差的自适应渐消卡尔曼滤波器[J]. 系统工程与电子技术,2011,33(12):

2696-2699.

[10] Mohamed A H,Schwarz K P.Adaptive Kalman filtering for INS/GPS[J].Journal of Geodesy,1999,73(4):193-203.

[11] 卞鸿巍,金志华,王俊璞,等.组合导航系统新息自适应卡尔曼滤波算法[J].上海交通大学学报,2006,40(6):1000-1003.

[12] Gao W,Li J C.Adaptive Kalman filtering for the integrated SINS/DVL system[J].Journal of Computational Information Systems,2013,9(16):6443-6450.