解析反证法的逻辑特点和使用技巧

李雨眠

摘要：我们在高中学习数学的过程中，反证法是作为一种特殊的解题技巧来使用的，通过对反证法的学习和研究，了解了反证法的使用方法以及使用的情形，并引发了本人对反证法的思考和总结。本文简单的介绍了反证法的概念，逻辑特点，重点分析了反证法的使用技巧。

关键词：反证法；逻辑特点；技巧；数学

一、反证法的概述

反证法，又称背理法，即假设原命题结论的不成立，然后从这个假设开始，根据题中给出的条件，进行论证，最后推出与原命题相悖的结果。反证法最重要的部分在于归谬，根据假设的情况的多少，反证法可以分为两类，即归谬反证法和穷举反证法，归谬反证法是结论的反面只存在一种情况，而穷举反证法是结论的反面不单单只有一种情况。

二、反证法的逻辑特点

间接证明是反证法的逻辑特点，它从命题结论的反面对命题进行论证，通常第一步是假设原命题的不成立，第二步是从结论出发，推理论证，得出矛盾，最后得出假设不成立，肯定原命题正确的结论，是一种逆向思维的证明方式，间接证明是相对直接证明来说的，当我们遇到某一道数学题时，若我们很难用直接证明，从已知推出结论，那么，假设结论，由结论推出，也未尝不是一种好的方法，这样数学问题就会变得简单、明了。在解数学题的过程中，常使用反证法证明，不仅能够提高学生的数学成绩，巩固学生的所学的数学知识，而且能够培养学生的逻辑思辨能力，对学生的长远发展有着重要的影响。

三、反证法的使用技巧

1、证明结论反面比结论更为简单。正如一句古话说的好，正难则反，当一个事情的正面很难得到证明时，那么从事情的反面进行证明会更容易一些，而在数学中，反证法一般用于条件不是特别多，关系不是特别容易把握时，从反面证明比较容易上手的情况。

例如，在平面和直线相交的证明题中，求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面m相交，则另一条也与平面m相交。

证明：不妨假设直线a与平面m相交，b与a平行，从而证明b也与平面m相交，假设b不与平面m相交，则必有两种情况：

（1）b在平面m内，因为a//b，a不在平面m，所以a//平面m，与题设矛盾。

（2）b//平面m，则平面m内有直线b1，使b//b1.因为a//b，所以a//b1，因为a不存在平面m，这与题设矛盾。所以，b与平面m只能相交。

在這道题中，直接证明直线与平面相交是比较困难的，然而运用反证法，通过假设，对命题的证明就比较容易。

2、证明结论中出现“至少、至多、唯一、不能同时等字样的命题。当一个命题中出现至少、至多、唯一、不能同时的字样时，直接证明会比反证法困难。当题目中出现“不能同时”的情况时，采用直接证明会出现一个、两个、三个等不同的情况，而采用反证法，否定结论，就是“同时存在多种相同情况“，这样证明起来就方便很多了。因此，在做题中要特别注意命题中出现至多……，不都……、都不……、没有……，不能同时……等关键性词语。

例如，若0

证明：因为00

同理，4-b>0，4-c>0

假设（4-a）b，（4-b）c，（4-c）a，同时大于2

即（4-a）b>2，（4-b）c>2，（4-c）a>2

由①+②+③得，6>6，矛盾

所以假设不成立，所以（4-a）b，（4-b）c，（4-c）a，不能同时大于2。

四、反证法应当注意的问题

在运用反证法的过程中，我们应当注意一些问题，主要是以下几点：

1、我们要正确的分清题中的条件和结论，并正确的否定命题中的结论，正确的否定结论是证明结论成功的第一步，因为只有在确定大前提正确的前提下，才能确保接下来推理的正确。

2、在推理的过程中，要运用题中的条件，形成清晰的逻辑推理过程，并保证正确无误，正确的推理过程是一道题中最重要的部分，它包含了做题者的思想和逻辑推理能力，是做题者思维和意识的的表达。

3、得出正确的结论。在反证法的推理过程中，不同的题型会有不同的结论，我们要做好的就是分清不同的矛盾种类，进而得出不同的结论。这样，一道数学题才能算是完整的解答出来，在学习数学的过程中，我们需要的是百倍的耐心和细心，因为，数学本身是一门非常严谨的学科，它容不得丝毫的马虎，正如，用反证法证明习题时，习题的每一步都需要仔仔细细的进行计算，每一个小数点或者符号，都要标在它应该存在的位置上，只有这样才能保证最后得出的结论的正确。也只有这样我们才能在数学上取得成就。

五、结语

反证法在数学证明题中是非常常见的一种证明手法，然而它的运用不单单只局限于数学中，在生活中，我们也可以看到它的影子，当我们路过一家餐厅判断餐厅的食物的好坏，可以从餐厅的生意来判断，假设餐厅的食物很难吃，那么一定没有顾客，而餐厅却是人满为患，于是矛盾，所以假设不成立，所以餐厅的饭好吃。笔者作为高中生，通过对高中反证法的学习和了解，进而思考了反证法在其他科目中的运用，并做了深入的研究和分析。反证法对于数学中的问题的解决是至关重要的，学好反证法，可以化繁为简，很好的解决一些复杂的难题。作为高中生来说，熟悉的掌握反证法，在一些数学的证明过程能够比较得心应手的运用它，这样我们在遇到问题时，就能够灵活的准确的解决难题，提高我们的学习能力。然而，反证法的学习是不易的，因此，在学习反证法的过程中，要好好学习，勤于思考，只有这样，我们才能理解它，掌握它，并且正确的运用它。

参考文献

[1] 李丹丹.反证法在中学数学中的应用[J] 鞍山市信息工程学校.2013，（3）.

[2] 王业双.浅谈反证法的原理及在中学数学中的应用[J].教育教学论坛.2014，（2）.