☉武穴市教育科学研究院 刘全丰
☉武 穴 市 育 才 高 中 吴加兴
近年来,导数一直是高考的压轴题,常常需要构造函数,但是如何构造,一直是函数的难点,也是高考的热点.近几年高考题中出现了很多需要构造函数的题,其中不乏一些偏移点的问题,这更是让学生感觉无从入手,部分学生有思路,但是没有方法.本文就对函数的偏移点问题谈一点想法,希望能够对学生有一些帮助.
例1设函数(fx)=lnx-ax(2a∈R).
(2)在(1)的条件下,若有(fm)=(fn),m<n,证明:m+n>4a.
(2)证法1:因为f(m)=f(n),
所以lnm-am2=lnn-an2,
a(m2-n2)=lnm-lnn,
为了消元,达到构造的目的,对于本题我们不妨两边同时乘以(m+n),要使不等式成立,令即证(m+
所以原不等式成立.
f′(x)>0,0<x<1;
f′(x)<0,x>1.
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,如图1.
构造g(x)=f(2-x)-f(x)(0<x<1),
图1
g(x)在(0,1)上单调递减,
故g(x)>g(1)=0.
所以f(2-x)>f(x),f(2-m)>f(m)=f(n).
所以2-m>1,n>1,所以2-m<n,所以m+n>2.
这种解法它主要是通过数形结合建构m,n之间的关系,把m,n转换到同一个单调区间上.本题由结论我们可以知道n>2-m>1,所以f(n)>f(2-m),即f(m)>f(2-m),因此可以构建新函数g(x)=f(2-x)-f(x)(0<x<1),从而很容易得出.
(A)f(′x0)>0(B)f(′x0)=0
(C)f′(x0)<0(D)f′(x0)不确定
所以f″(x)=0存在零点x0.
因为x1,x2∈(0,π),x1≠x2且(fx1)=(fx2),
F(′x)=f(′x)+f(′ π-x)=2-2sinx>0,
所以f(x)<f(π-x).
令x=x1,f(π-x1)>f(x1)=f(x2),
所以π-x1<x2,
图2
例3(2016年全国卷Ⅰ)已知(fx)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.
解析:(1)a∈(0,+∞),过程略.
(2)不妨设x1<x2,由(1)易知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),又f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,如图3.
构造函数g(x)=f(x)-f(2-x),x<1,
g(x)=(x-2)ex+xe2-x,
g′(x)=(x-1)(ex-e2-x).
当x<1时,g′(x)>0,g(x)单调递增,g(x)<g(1)=0,
所以f(x)<f(2-x),
所以f(x1)<f(2-x1),
所以f(x2)<f(2-x1).
又x2>1,2-x1>1,
图3
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,
x2<2-x1,x1+x2<2.
本题也是为了得到x1,x2之间的关系,从而构建g(x)=f(x)-f(2-x),x<1.这样能够把x1,x2转化到同一个单调区间上,利用单调性来进行处理.
【问题反思】极值点偏移:对于函数y=f(x)在区间(a,b)只有一个极值点x0,方程f(x)=0的解分别为x1,x2,且a<则称y=f(x)在(x1,x2)上极值点x0偏移.当,则称函数y=(fx)在区间(x1,x2)上极值点x0向左偏移;当,则称函数y=(fx)在区间(x1,x2)上极值点x0向右偏移.
图4
解决方法:(1)若y=f(x)在区间(a,b)只有一个极大值点x0,则其大致图象如图4,则可以发现:若x1到x0的距离为x,当x0左移时,f(x0+x)>f(x0-x);当x0右移时,f(x0+x)<f(x0-x).此时0<x<x0-a.所以我们可以构造函数g(x)=f(x0-x)-f(x0+x)(0<x<x0-a).有时为了方便,不妨令t=x0-x(a<t<x0),因此对于此类问题我们也可以构造函数h(x)=f(x)-f(2x0-x)(a<x<x0),然后进行等价转换即可求证.
(2)若y=f(x)在区间(a,b)只有一个极小值点x0,做法同上,只是函数在各自的区间上单调性不同而已.
很多函数的题目看起来很难,只要我们把握住数形结合这个武器,克服畏难情绪,认真分析,注意细节,我们一定能够体会到成功带给我们的喜悦.