浅析数学归纳法的思想原理及应用

李佳霖

摘要：介绍了什么是数学归纳法，并通过与经验归纳法对比，论证其科学性，探讨数学归纳法的思想原理。以例题探讨数学归纳法在解决问题时的应用。

关键词：数学归纳法 思想原理 应用

引例：在多米诺骨牌，①只要第一块骨牌倒下；②前一块倒下能保证后面一块骨牌倒下。那么整个多米诺骨牌都会倒下。数学归纳法，正是运用了相似的思想。

一、数学归纳法的规范表述

a）对于任意正整数r，如果命题Ar为真，则可推出命题Ar+1为真；

b）第一个命题A1为真。

二、数学归纳法与经验归纳法

其实，在遇到引言中内角和的命题时，可以轻易验证前几个是成立的。可以继续验证，n不断增大，而命题依然成立。但这并不是一般的规律。我们并不能这样轻易认定命题是否成立，这属于经验归纳法。这并不严谨，因为我们不能用有限个命题的正确性直接代替无限个命题的正确性。数学归纳法则有严密的逻辑推理过程。虽然我们不用对每一个命题进行验证证明，但在我们得以证明a）、b）步骤时，通过逻辑推理就能给出所有项都成立的结论了。

三、数学歸纳法的思想原理

在面对类似于引言中的与自然数n相关的一系列命题时，一般有两种思路，一种是找出这一系列命题其中的共同规律，一次性证明这所有命题。第二个思路就是数学归纳法，把无限个命题分开，找到其中的递推关系，用已知命题的正确性证明后续命题，无限循环，进而证明这一系列命题。我们可以注意到，递推关系并不是只有 “Ar为真推证Ar+1为真”这一种，“Ar和Ar+1为真推证Ar+2为真”、“Ar为真推证Ar+2为真”也都是有可能的。这样，我们的思路就可以更开阔一些了。

四、数学归纳法在数列中的应用

在解决数列问题时，常常遇到知道通项公式是什么却无法证明的情况。这里不妨用归纳法解决。具体的解法是：①验证前两项符合条件；也就像是引言中提到的，多米诺骨牌的第一块倒下了②通过递推公式说明若an满足猜想，则an+1也满足猜想；也就是前一块多米诺骨牌倒了，后面一块也一定会倒。下面有一道例题。例1（广州高考题）设数列{an}的前n项和满足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，且S3=15。求：数列{an}的通项公式。

从上面的例子可以看出，对于求数列通项公式，如果能猜出通项公式，并且题目告知或者能间接推出递推公式，用归纳法解题最为简单。

应用（2）证明不等式或等式

近年来证明不等式一直是高考的热点和难点，不仅仅灵活多变，在平时解题中，往往难以找到突破口。此时运用归纳法从特殊到一般的思想，往往能一招见奇效。需要注意的是，归纳法往往与其他方法混合使用，当题目较为复杂时，常常要先用分析法顺着题目条件找到证明解决问题比较简单的数学形式，化简条件或者问题中的式子，找到关键的共同点，再运用“要证明……”，“只需证明……”最后将问题证明。

五、结语

数学归纳法一直是高考考场中的利器，在运用时要注意先特殊，后一般的使用顺序。从特殊转化到一般的关键是找出前后两项的递推关系。此外，将数学归纳法与多米诺骨牌对比，能够加深对其的理解，使解题更加流畅自如。

参考文献：

[1]单墫.数列与数学归纳法[M].上海科技教育出版社，2009.

[2]蔡小雄.高中数学联赛一试 数列与数学归纳法[M].西冷印社出版社，2006.

[3]余希翔.数学归纳法的原理分析[J].大科技，2017，（03）.

[4]王治平.例谈数学归纳法的应用[J].高中数学教与学，2017，（01）.

（作者单位：牡丹江一中）endprint