明确教学内容定位凸显数学思想方法

周柯全

【摘要】《平行四边形的面积》可以说是各类公开课、示范课的“常客”，对于这一内容的设计方案和思考研究也常见于各种教学类杂志。在较为充分地学习和研读这些经验之后笔者意识到：从特定角度而言，对教学内容的理解和定位不同，是造成设计思路及课堂形式上各种差别的主要原因。

【关键词】教学内容 定位 凸顯 数学思想

《平行四边形的面积》可以说是小学数学“图形与几何”中极具代表性的内容之一，在进行教学设计之前如何找准并确立对本课内容的精准定位，进而以此为基础组织开展课堂教学呢？带着这样的问题，笔者进行了以下探索与实践。

一、设计思考——定位于“生长过渡”

从下图可以看出，在关于小学数学平面图形面积的知识体系中，《平行四边形的面积》处在承上启下的重要环节，这种过渡作用主要体现在两个方面：

首先，这种过渡作用现在对“转化”这种思想方法的理解。学生在学习长方形的面积时，通过数格子的方法得出计算公式，而事实上，这个推导过程也可以看做是通过转化的方法进行的，即把长方形面积转化成一定数量的面积单位来表示。这是一种直观表示方法上的转换，符合三年级年龄段学生的认知特点。而对于五年级学生的认知水平，他们已经具备一定的转化意识，掌握了一些基本的方法，因此，开展《平行四边形的面积》教学的首要任务是唤醒学生已有知识基础和初始经验。

具体到平行四边形转化为长方形的方法，这种转化表现出“形状改变而面积不变”的特点，既可以看做是在已有基础上实现的“生长”，也体现了对数学思想方法的提升和发展，这种方法的提升如果能很好的作用于学生数学思维的发展，对后续学习三角形、梯形（两个完全相同的三角形、梯形拼成平行四边形的一般方法），乃至圆形的面积（剪拼成平行四边形）计算公式都有着极为重要的作用。

其次，这种过渡作用还体现在面积计算公式间的关系上。下图可以直观地解读为由长方形面积计算公式推导出了平行四边形的面积计算公式，再由平行四边形面积计算公式分别推导出三角形、梯形的面积计算公式。

从中不难发现，平行四边形的面积是引入平面图形中的“高”进行计算的，而长方形面积计算的“长×宽”过渡到平行四边形面积计算中的“底×高”，这是实现图形之间面积转化的关键点，也是课堂中需要特别重视的教学环节。在此，不得不提到很多设计和实施中出现的用“邻边相乘”的方法进行“试误”的过程处理。从知识源头分析，这是由平行四边形容易变形的特性造成的，也可以认为是一种“周长不变而面积改变”的转化，这种面积的变化正是因为“高”的改变而引起的。笔者结合个人的教学实际认为，在四年级上册《平行四边形的认识》中，在学生建立平行四边形“高”的概念以及之后进行的关于特性的教学中，就应该使学生充分理解“平行四边形的大小（面积）会随着高的改变而改变”这一知识要点。这样，在本课教学中，就能完全遵照教育心理学所倡导的从“正面强化”入手，以正确的转化方式系统地完成对新知的建构。

基于以上的思考，《平行四边形面积》一课的设计思路应明确地定位于“概念的生长”和“方法的过渡”，并以此为指导进行教学实践。

二、教学实施——贯穿以“转化思想”

（一）课前导学，复习旧知

师：你还记得平行四边形的哪些知识？同桌之间互相交流一下。

根据学生回答，课件出示：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

从平行四边形一条边上的一点到对边作一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。

师：平行四边形有几组相对应的底和高？

生：两组。

师：为什么？

生：有两组平行的对边。在一组对边上有多少条高？

生：无数条。

师：平行四边形具有容易变形的特征，（教具演示）在形状改变的过程中谁也发生了改变？

生：高。还有吗？

生：图形的大小。

设计意图：作为单元内容的起始课，导学环节起着复习旧知、找准学生认知起点的作用，可以结合单元主题图开展教学，或者创设一定的情境，其中具有针对性的问题设计，在强化基础概念理解的同时，为更好地开展新知探索做铺垫。

（二）课堂导入，初识转化

师：（课件出示第（1）题）比较下面图中阴影部分面积的大小。每个小方格的面积为1cm2。

生1：相等。因为第一个图的面积是6格，第二个图的面积也是6格。

师：追问：也就是说你是用什么方法进行比较的？

生1：数格子。

生2：还可以把第二幅图中的最右边的小正方形移到左边，这样也是一个长方形。

师：（课件演示方法并引导归纳）也就是说，把这个图形转化成了长方形。（继续出示第（2）题）

现在怎么比较？

生：把第二个图形右边的三角形剪下了拼到左边，这样可以转化成同样的长方形，所以它们是相等的。

师：你听懂他的方法了吗？是一种什么方法？

生：转化。

师：把什么转化成了什么？

生：把不规则的图形转化成了长方形。

设计意图：第（1）小题有格子作为辅助，一方面是与长方形面积公式的推导过程建立联系，另一方面学生能够根据自己的经验联想到“割补平移”的方法，直观感知转化的方法。第（2）小题脱离了格子图，使学生更为清晰地感受到转化方法的作用，为后续教学埋下伏笔。

（三）探究新知，运用转化

1.创设情境，导入新知。（课件出示）学校的大门前有两个花坛，哪一个面积大？

师：需要解决什么问题？我把两个草坪搬到了你们的面前。（请学生拿出长方形和平行四边形纸片）你觉得那张纸片的面积大？endprint

请你结合老师为你准备的学具（透明方格纸，剪刀）先想一想，可以用怎么的方法验证你的猜想？然后动手试一试。

2.实践操作，汇报交流。（师巡视过程中适当指导，并提出要求）边做边说，把操作的过程先对着自己说一遍。

（学生操作结束）以四人小组为单位交流方法，再指名回答（边演示边讲解）。

生1：用透明的方格紙放在这两个图形的上面，发现长方形占了24格，平行四边形中的这个部分如果能够拼到这里，刚好也占了24格，所以他们的面积相等。

师：这位同学的方法中，其实已经把平行四边形怎么样了？（转化成了长方形）再通过数格子的方式得出结论。如果只采用数格子的方法能够得出平行四边形的面积吗？（和学生一起尝试后追问）为什么这里的不满一格都可以按半格数？（引导得出：左边的每个不满一格的部分都可以拼到右边使它们成为完整的一格。）也运用了什么方法？（转化）

生2：用剪刀剪下平行四边形的中的一个三角形，（师追问：是随便剪的吗？）沿着它的高剪。（师继续追问：只能沿着高剪吗？）只能沿着高剪。然后把沿着高剪下的三角形拼到左边，再和长方形重叠比较出它们的大小是相等的。

师：有多少同学采用了这样的方法？通过剪拼的方法，把什么图形（平行四边形）转化成了（长方形）。

设计意图：从解决实际问题的需求引发探索的热情，验证猜想的环节，要求学生先思考，再选择教师提供的学具进行操作，采用“思考+实践”的方式，放手让学生去尝试。教学过程中通过自己叙述、小组交流、指名学生回答的方式突出体现对学生表达能力的培养，在学生介绍之后，采用课件辅助的方式，引导学生由“模糊感觉”逐步走向对“转化”这一数学思想方法有较为精确的认知。

（四）自主建构，理解转化

3.引导归纳，建构新知。转化以后，图形的什么没有发生改变？（面积）改变的是什么？（形状）仔细观察一下，还有什么也发生了改变？

生：我发现平行四边形的底转化成了长方形中的长，平行四边形的高转化成了长方形的宽。

师：（结合回答板书）这个转化过程中，什么变了，什么没变（只是名称变了，而长度没变。）这也正是为什么这两个图形的形状改变，而面积不变的原因。

看着这个板书，你有什么发现吗？

生：长方形的面积等于长乘以宽。转化成平行四边形后，它的面积等于底乘以高。

师：回答得真好，我们一起来说一说，闭上眼睛回顾一下这个过程，教师轻声引导，你理解转化的方法了吗？感受到这种知识生长的力量了吗？

4.破解定势，发展思维。老师这里还有几个问题。（课件逐个出示）

（1）想一想：是不是只有剪成直角三角形和直角梯形，才能转化成长方形？

学生思考，结合教师的直观演示得出：只要沿着平行四边形的高剪开，都可以转化成长方形，因为平行四边形一组对边上有无数条高，所以有无数种剪法。

（2）试一试：在平行四边形的另一组底和高上，能实现这样的转化吗？

引导学生利用学具进行操作，沿着另一组对边上的高剪下，转化成长方形。

（3）说一说：（结合板书）在这些转化过程中，平行四边形的底转化成了长方形的长，高转化成了长方形的宽，这种转化只是名称改变而长度不变，所以，虽然图形的形状发生了改变，但是面积不变。

设计意图：以上一环节中的充分表述和理解为基础，使学生完整经历对新知自主建构的过程。教师通过有针对性的提问，既沟通了知识的内在联系，又揭示了其中蕴含的本质属性，达成“知其然，知其所以然”的教学目的。

为破除认知心理学中不良思维定势的影响，适时抛出三个问题，通过对前两个问题的思考和尝试发散学生的思维，再利用“说一说”的环节恰到好处的聚拢思维，使学生获得了“立得牢固，破得充分，收得彻底”的过程体验。

（五）课堂练习，强调转化

师：用学到的转化方法计算这些图形的面积。

学生口答，说一说思考的过程：第一个图形可以转化成长5厘米，宽3厘米的长方形；第二个图形可以转化成长12分米，宽2.5分米的长方形。（课件分别演示）

师：计算平行四边形面积需要知道什么条件？（底和高）出示第2题，如何计算这个图形的面积？

指名回答：1.2×0.8=0.96（平方米）。（为什么这样算？）这个平行四边形可以转化成一个长0.8米，宽1.2米的长方形。（在1.6米的这条底上能不能实现转化？）不能。

小结：也就是说，在转化的过程中，底和高必须互相对应。

（指向板书）利用学过的知识，你能把平行四边形的面积计算公式转化成不同的形式吗？

生：底=平行四边形的面积÷高，高=平行四边形的面积÷底。

真厉害，把一个乘法算式转化成了两个（除法算式），课件出示图中红色的高并追问：你能利用转化的结果计算出这条底上的高是多少吗？（学生计算，分析校对）

（课件出示）比一比，在方格纸（学具）上画一个底是4厘米，高是3厘米的平行四边形。（先明确题目的要求，再思考，怎么画才能又快又多？）学生尝试练习。

展示学生作品后，课件动态演示。引导发现：在方格纸上，可以画出无数个这样的平行四边形，而这些平行四边形都可以转化成长是4厘米，宽是3厘米的长方形。

（六）全课小结，突出转化

这节课我们学习了什么知识？你理解了怎样的方法？

（课件出示）：转化是数学学习中非常重要的思想方法。

【设计意图】课堂练习体现“基础——变式——拓展”的设计层次，在兼顾基本知识和技能训练的同时，重点突出对“转化”这一思想方法的理解和巩固。其中变式练习中涉及的对公式的转化并以此解决实际问题，以及拓展练习中“思考+实践”的探索方法对于学生思维能力的发展起着非常重要的促进作用。

纵观以上教学实施，可以看做是在前期思考，即明确对本课教学内容定位的基础上实现“生长”的一个过程。小学数学的学科特征，以及知识的内在联系处处表现着这种“生长”的姿势和形态，而如何以数学的思想方法将之联系贯穿，这需要一线教师结合各方面教学因素进行深入思考与实践研究。

【参考资料】

[1]中华人民共和国教育部.《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》北京：北京师范大学出版，2011.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》北京：北京师范大学出版社，2012.endprint