浅谈数学高考中的变形思想

周炳

摘 要：变形思想在数学高考解题中是一种很常见的方法，高考数学解题中，为了能在有效的时间里得到正确的答案，需要对已知条件进行有效的变形或者替代。在一般情况下，一个高考题的已知条件有多种变形思想，因题型而异，具有很强的技巧性。主要介绍了数学高考中不等式、三角函数、函数的应用等的变形思想。

关键词：变形思想；解题技巧；三角函数；单调函数

在高中数学的学习中，解题的过程能让高中数学的枯燥、乏味变得更加生动精彩，通过解题过程可以使高中生获得数学知识的同时也掌握一些生活所必需的基本技能，近几年来，在全国卷的数学高考考试中，不仅注重考查学生对基础知识的掌握，而且还越来越重视学生知识的灵活运用，在解题的过程对题目进行适当的变形，可以使解题过程充满乐趣，也可以提高解题效率。

一、基本不等式中的变形技巧

在利用基本不等式的过程中，要保证“一正、二定、三相等”的条件，所以在解题过程中常常需要对已知条件进行适当的变形使之问题简化符合条件。

例1：求y=x+（x>1）的最小值。

[分析]：因为x·不为定值，所以需要对x变形，当把x变成x-1时，（x-1）·即为定值。

解：由y=x+=x-1++1≥2+1=3（当且仅当x-1=时取等号），所以y=x+（x>1）的最小值

为3。

例2：已知a>0，b>0且a+b=2，求+的最小值。

[分析]：因为在+的式子中无法变现，所以只能在式子中乘以“1”，其中“1=（a+b）”，所以+就可以变为+·1=+·（a+b）=+++2=++，從而就可以使用基本不等式了。

解：∵+=+·1=+·（a+b）=+++2=++≥+2=

∴+的最小值为。

二、三角函数的变形技巧

三角函数的学习中，往往有关于求值、化简、证明以及解三角形等问题，都会涉及三角恒等变换以及“1”的灵活运用。能快速掌握三角恒等变换的技巧，不仅能针对三角函数公式的记忆加以帮助，而且还能提高数学的逻辑思维能力，提高数学的综合能力。下面通过例题来加以说明三角函数的变形技巧。

例1：已知tanθ=2，求下列等式的值；

（1）

（2）

（3）sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ

[分析]：因为已知tanθ的值，故只需要把在（1）（2）中分子分母同时除以cosθ和cos2θ即可，（3）中是整式没有分母，利用三角函数中“1”的灵活应用，即。

解：（1）====1.

（2）==

==.

（3）sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ=

==

===.

三、函数中的变形技巧

在学习函数的性质中，往往一些条件不满足，需要我们进一步变形才能够满足函数的基本性质：

例题1.已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对任意x1，x2都有<0，若对任意的实数p，f（p-1）+f（p2+m）<0恒成立，求实数m的范围。

[分析]<0，可以变形理解为f（x）为在R上单调减函数，f（p-1）+f（p2+m）<0可以变形成为抽象函数不等式的

形式。

解：∵f（p-1）+f（p2+m）<0∴f（p-1）<-f（p2+m）。又∵f（x）是奇函数，∴f（p-1）-p2-m恒成立，∴m>-p2-p+1=-p+2+恒成立，∴m>.

例题2.已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x）+f（y）-1=

f（x+y），且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数。

[分析]：因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f（x1）-f（x2），但可以借助题目提供的函数性质来确定f（x1）-f（x2）的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值。

证明：方法一 设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2。令x+y=x1，y=x2则x=x1-x2>0.f（x1）-f（x2）=f（x+y）-f（y）=f（x）+f（y）-1-f（y）=f（x）-1.

∵x>0，∴f（x）>1，∴f（x）-1>0，∴f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）

函数f（x）在R上是增函数。

方法二 设x1>x2，则x1-x2>0，从而f（x1-x2）>1，即f（x1-x2）-1>0。f（x1）=f [x2+（x1-x2）]=f（x2）+f（x1-x2）-1>f（x2）∴f（x）在R上是增

函数。

通过以上几种题型的变形技巧，我们可以看出数学变形思想是高中数学解题的一种重要的思想方法，如果能巧妙地利用变形技巧，可以使许多难题迎刃而解，化繁为简，化难为易，变形能力的强与弱，直接影响到考试解题能力的高低，同时也需要学生在实践中反复练习，以至于能灵活运用。

参考文献：

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[2]G·波利亚.数学与猜想：数学中的归纳与类比[M].北京：科学出版社，2001.

[3]徐英俊.教学设计[M].北京：教育科学出版社，2001.

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