一元二次方程根的分布问题的新解法

冯玉娟++牛鹏羽

摘 要：一元二次方程根的分布问题是中学数学中的一类重要问题，其常规解法的具体情形较多且计算复杂，常常使学生望而生畏。鉴于此，本文提出了一种新的观点，通过两道例题给出了一元二次方程根的分布问题的新解法，供大家参考。

关键词：一元二次方程；根的分布；新解法；导数

如果方程x2-ax+2=0在（0，3）内有且只有一个实数根，则a的取值范围是 。

解：由x2-ax+2=0得x2=ax-2。

令f（x）=x2，g（x）=ax-2。显然，f（x）=x2经过点A（3，9），g（x）=ax-2经过定点B（0，-2）。

（1） 连接AB，则kAB=9-（-2）3-0=113。

由图1知当a≥113时，函数f（x）=x2与g（x）=ax-2的图象有且只有一个横坐标在（0，3）内的交点。

所以当a≥113时，方程x2-ax+2=0在（0，3）内有且只有一个实数根。

（2） 当f（x）=x2的图象与g（x）=ax-2表示的直线相切时，记切点为T。

由f′（x）=（x2）′=2x=a得xT=a2，所以yT=a24。

由a×a2-2=a24得a2=8。显然a>0，所以a=22。

由图1知当a=22时，函数f（x）=x2与g（x）=ax-2的图象有且只有一个横坐标在（0，3）内的交点。

所以当a=22时，方程x2-ax+2=0在（0，3）内有且只有一个实数根。

综上，a的取值范围是a≥113或a=22。

拓展：由图1可以看出，当22

例2 a为何值时，在开区间（1，3）内，关于x的方程x2-5x+a+3=0存在实根？

解：由x2-5x+a+3=0得x2=5x-（a+3）。

令f（x）=x2，g（x）=5x-（a+3）。显然，f（x）=x2经过点A（3，9），B（1，1）。

若g（x）=5x-（a+3）经过点A（3，9），则对应的直线为y-9=5（x-3）。

令x=0得y=-6。所以yC=-6。

若g（x）=5x-（a+3）经过点B（1，1），则对应的直线为y-1=5（x-1）。

令x=0得y=-4。所以yD=-4。

当f（x）=x2的图象与g（x）=5x-（a+3）表示的直线相切时，记切点为Q。由f′（x）=（x2）′=2x=5得xQ=52，所以yQ=254。

此时g（x）=5x-（a+3）对应的直线为y-254=5x-52。

令x=0得y=-254。所以yE=-254。

因为方程x2-5x+a+3=0在（1，3）内有实根，所以函数f（x）=x2与g（x）=5x-（a+3）的图象至少有一个横坐标在（1，3）内的交点。

由-254≤-（a+3）<-4解得1

所以，a的取值范围是1，134。

拓展：由图2可以看出，当-（a+3）=-254或-6≤-（a+3）<-4即a=134或1134時，方程x2-5x+a+3=0在（1，3）内没有实数根。

纵览上述两道例题，皆以一种相对的观点为主导思想，即当涉及二次函数和一次函数时，将相对复杂或相对高级的二次函数定下来，让一次函数变，而一次函数对应的直线又有定的元素，或为纵截距定（例1），或为斜率定（例2），然后结合图象，既顺利地解决了问题，又从本质上认清了数学问题。事实上，这种相对的观点不仅可以很好地解决一元二次方程根的分布问题，还可以有效地解决一般的零点存在性问题，读者不妨一试！

参考文献：

[1] 章建跃.普通高中课程标准实验教科书·数学选修11（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2] 徐彦辉.教师如何应对课堂中突发的错误[J].数学通讯，2009（5）（下半月）.

[3] 杨先义.问题176[J].数学通讯，2009（5）（下半月）.

作者简介：冯玉娟，甘肃省嘉峪关市，甘肃省嘉峪关市第一中学；

牛鹏羽，甘肃省嘉峪关市，甘肃省嘉峪关市第二中学。