游戏中的数学问题

廖柳晴

在扑克牌游戏中，有一种叫做“24点”的游戏，它的游戏规则是：在除掉大王与小王的52张扑克牌中任取4张牌，看能否在其间添加四则运算符号和括号，得出24，其中A，J，Q，K分别代表数字1，11，12，13，

我们可以提出两个与之相关的数学问题：一是从一副除掉大王与小王的扑克牌中任取4张牌。一共有多少种可能的出牌组合？二是在所有可能的出牌中，有多少种组合是可以算出24的？

我们先解决第一个问题，所选的4张牌有以下5种情况：

若4张牌的点数都不相同，则共有从13张牌中选4张的组合数，即有C⁴₁₃=715种组合，

若4张牌的点数中只有2张牌的点数相同，另外2张牌的点数不同。则先从13张牌中选3张牌，再在3张牌中取1张重复牌。即13取3的组合数乘以3取1的组合数，即有C³₁₃C¹₃=858种组合，

若4张牌的点数中有2张牌点数相同。另外2张牌的点数也相同，则从13张牌中取2张的组合数，即有C²₁₃=78种组合，

若4张牌的点数中有3张牌的点数相同，另外1张牌的点数不同，则先从13张牌中取2张牌。再从这2张牌中取1张重复两次，即有C²₁₃C¹₂=156种组合，

若4张牌的点数都相同，则共有13种组合，

所以，所有的可能情况数为715+858+78+156+13=1820.

对第二个问题。可能与你所期待的相反，并没有什么快捷的方法得出答案，只能通过枚举的方法一个一个进行判断，根据计算机编程得出的结果，在这1 820种可能的组合中，有1 362种组合是可以算出24的，即有458種组合算不出24，进一步的研究表明，在所有1 362种可解的组合中：

有515种组合有且只有1个解：

有427种组合有且只有2个解：

有216种组合有且只有3个解：

有125种组合有且只有4个解：

有31种组合有且只有5个解：

有17种组合有且只有6个解：

有17种组合有且只有7个解：

有8种组合有且只有8个解：

有2种组合有且只有9个解：

有3种组合有且只有10个解；

最后，只有（2，4，8，10）有11个解，

上述有且只有1个解的意思是，比如（1，1，1，8），只有1种方式算出24：（1+1+1）x8=24，有且只有2个解的意思是，比如（1，1，2，6）只有2种方式算出24：（1+1）x6x2=24和（2+1+1）x6=24，即有且只有2个解，

现在人们玩“24点”游戏，往往将乘方、开方、阶乘等算符也用上，在这样的情况下。又有多少种可解的组合呢？这个问题就留给各位读者思考吧，

（责任编校/冯琪）