最速下降曲线实验

徐雷

摘要：物理学是一门以实验为基础的学科。物理实验是科学实验的先驱，体现了大多数科学实验的共性，而实验教学则是培养学生的一个非常重要的环节，它不仅可以培养学生的基本实验技能和素养，还可以培养其科学思维和创新意识，提高学生的综合能力和创新能力。本文从理论模型出发，采用变分法推导出最速下降曲线的解并设计实验予以验证。

关键词：最速下降曲线；变分法；摆线

中图分类号：O369 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）04-0190-02

一、前言

最速下降曲线问题在历史上具有显赫声名。其问题的内容为：设有A、B两点通过一条曲线连接，让一个质点沿着此曲线由A点下滑到B点，那么质点沿着什么样的曲线下滑所需的时间最短（下滑过程中摩擦力和阻力均不考虑）？这就是著名的最速下降曲线问题（也叫摆线问题）[1，2]。在很早以前，牛顿和伽利略都研究过这个问题，他们通过大量的实验研究发现，质点从A点滑到B点耗时最短的轨迹曲线是圆弧线。直到1696年Johann Bernoulli采用了一种非常巧妙的方法解决了最速下降曲线问题，并就此问题向全欧洲发出挑战。而到1697年时，牛顿、莱布尼茨以及Jakob Bernoulli（Johann Bernoulli的哥哥）都同时给出了此问题的解。Jakob Bernoulli所提出的方法比较麻烦但是更具有普适性，也因此引发了他们兄弟俩长达数年的争执。直到1744年，Leonhard Euler提出了曲线极值问题的微分方程并建立变分法，这一问题才画上圆满句号[3，4]。

二、实验原理

最速下降曲线是求解泛函极值问题，可以通过变分法求解此类问题。如图1所示，质点从A点滑到B点，并选取坐标系。设质点滑过的曲线方程为y=y（x），质点的质量为m，重力加速度为g，质点的下滑的速度为v（t），其中t为质点下滑的时间。根据能量守恒定律可知，在下滑过程中的任意一点P（x，y）都有：

三、实验设计

验证重力作用下的最速下降曲线。采用三个光滑小钢球做实验：一个沿着直线槽下滑，一个沿着圆弧槽下滑，另外一个沿着摆线槽下滑。滑槽均采用硬质金属或者钢化玻璃等材料做成，可以避免实验过程中滑槽变形[6]。

在一个木块两端固定两块高低不一样的木块，然后将三个滑槽并排固定在木质框架上，则三个滑槽的起点（终点）的位置高度相同，并且起点高于终点，如图2所示。将小钢球分别沿着三个不同的滑槽由静止开始同时释放，记录它们滑落到终点所需要的时间，比较时间长短，从而找出哪个滑槽下落用时最短。为使小球下落时间差增大易于测量和观察，在设计实验装置时，应确保起点与终点之间的水平和垂直距离尽量大一些，水平距离大于80cm，垂直距离大于60cm。实验过程中要将整个实验装置固定在桌面上，并保存模板底部處于水平状态，这样可以避免小球滑落过程中装置移动。同时，由于采用硬质金属或者钢化玻璃滑槽可以有效避免滑槽变型带来的实验误差。除此之外，滑槽在生产加工过程中应尽量使其内表面光滑，这样可以有效地减小摩擦力，从而减小摩擦力带来的实验误差。

四、结束语

本实验首先从理论模型出发建立微分方程，然后用变分法求解方程，最终给出最速下降曲线方程的解，并根据方程的解来设计实验进行验证。通过本实验可以培养学生根据实际问题建立微分方程模型并求解的能力。学会根据实际问题提出猜想，然后通过动手设计实验进行验证并得出合理结论的能力和思维方式，为今后处理实际问题奠定基础。

参考文献：

[1]塞蒙斯G F.微分方程——附应用及历史注记[M].张理京，译.北京：人民教育出版社，1981.

[2]王东.应用斯涅尔公式求解最速下降曲线问题研究[J].科技资讯，2008，（8）：168-188.

[3]斯哥尔兹ЛЭ.变分法[M].李世晋，译.北京：高等教育出版社，1958.

[4]尤庆明.最速降线求解和摩擦力影响的研究[J].河南理工大学学报，2005，24（1）：83-88.

[5]唐旭清，翁昊年.变分法在最优控制问题中的一个应用[J].江南大学学报，2003，2（5）：521-525.

[6]江兴方，高惠滨，郭小建，吴志贤.物理演示实验[M].南京大学出版社，2011.endprint