延拓在分析类课程教学中的认识和体会

向妮　张俊玮　陈立　毛井

摘要：介绍了当前大学数学专业分析类课程的现状，剖析了分析类课程间的联系，指出在日常教学中存在的漏洞和不足。然后从拓展这一知识点出发，串联起整个分析学课程。最后就如何在教学中加强学生对分析类课程间联系的理解，提高学生学习兴趣谈点认识和体会。

关键词：大学数学；分析学；延拓

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）04-0169-02

一、引言

在分析学中，数学分析是各大高校数学专业培养计划中的必修课程，基本都超过250个课时。继数学分析之后分析学方面还有复变函数、实变函数、泛函分析等；分析类课程中所包含的数学思想，对后续的学习十分重要。同时这些分析类课程对概率论与数理统计、常微分方程、偏微分方程等其他分支的学习起到了重要的支撑作用。因此，分析学的学习在本科阶段是极为重要的。但是这类课程不仅历时较长，而且在教学方法上普遍有些陈旧，创新性不强；同时现代大学生对知识的接受能力和理解能力以及学习心态都发生了重大变化；实际上在课程的教学中确实也需注重对这样的探索性学习能力的培养。因此我们需要调整教学方法以适应现阶段的教学对象。

二、现阶段分析类课程的设置

数学分析这门重要的基础课主要针对刚刚由中学升入高等院校的数学系新生。他们普遍缺乏对高等数学整体框架以及思想精髓的理解。大部分学生对数学的理解停留在简单孤立的知识点上，许多新生对于即将面对的课程心理准备不足，如果不善加以引导，容易导致学生无法掌握课堂内容，为后续的学习埋下隐患。如果能够引导学生自主探索，将分析类课程串联起来，探索其中的异同，就能够达到事半功倍的效果。

复变函数本身极好的性质和良好的数学思想体系，使得它成为一个承上启下的关键性课程。实变函数与泛函分析属于分析类有难度的进阶课程，是日后想继续从事数学研究的同学必须掌握的重要基础知识。此时我们更要考虑到课程的衔接问题，能否在此时从整体上把握几门重要的课程之间的内在联系，并且用抽象的思维理解问题的本质是关系到学生日后能否在数学领域有所突破的关键。

事实上，大学数学的教学还是以讲授式为主，大部分教师在讲授过程中，非常重视对基本知识点的讲解、基本定理的证明与基本数学思维和数学素质的训练。但是，在教学过程中，我们也发现这样的教学有时会带来片面理解这一弊端，许多学生可以在一些方面做得很好，但仍然缺乏对整个分析体系的把握，学生不能够站在更高、更宏观的角度看待整个分析学的体系，长远来看不利于学生对数学产生浓厚的兴趣，更不利于日后的继续学习深造。

三、延拓的基本定义及其在课程中的体现

现代数学教学中，主张创新性学习、自发性学习与探索性学习。因此我们在日常讲学过程中，一直在想办法适应学生的思维变换，寻找既能够充当线索又能够在学习的过程中反复训练学生基本数学方法的切入点，通过实践与研究，我們发现延拓的思想是一个很好的切入点。

简单来说，如果函数的定义域包含了f的定义域，并且在f的定义域内满足F（x）=f（x），则称函数F是f的延拓。事实上，遵照一定的方法，我们可以向更高维的拓扑空间定义相应的延拓。

在实际教学中，很多老师并没有把延拓当做一个可以串联分析类课程的知识点去讲解，很多地方只是一带而过。但事实上，延拓几乎出现在了所有的分析类课程中。例如在华东师大版数学分析函数连续的课后习题中，就出现了这样的函数[1]：

同时在许多学校的本科课程中还加开了泛函分析的内容，在泛函分析中，延拓的思想得到了更为广泛的应用。例如著名的Hahn-Banach延拓定理。

定理2[3]：设V0是线性空间V的线性子空间，并且给定V0上的线性泛函l0满足对任意v∈V0都有l0（v）≤p（v），其中p是正齐性次可加泛函，即满足

利用，作为分析类课程间联系的纽带加以剖析。分析学体系庞大繁杂，如果缺乏实例的引导和串联，学生很容易对这些难学的基础课程失去兴趣。延拓基本可以覆盖到分析学的每一个角落，利用它组织串联分析类课程，对学生进行积极的引导，可以达到拓展学生视野，激发学习兴趣的目的，这在现代数学专业教学中是非常重要的。

四、结论

基于上述事实，现有的教学活动中，强调对各个重要知识点的精确把握，注重数学运算、证明能力的训练，但是不利于学生从整体上把握整个分析学体系。将延拓的思想串联在整个分析类课程体系中加以应用，既能够加强学生对学科整体课程的把握，也能够利用在延拓问题的研究中所用的基本数学方法和思想（如本文给出的几个定理的证明，陆续用到了逼近、分解和变换这几种分析学中最基本的思想方法）达到有效地训练学生基本数学素养的目的。在课堂教学中，可以以现在较为成熟的授课体系作为授课的主线，以延拓等重要的概念与思想作为学生自主学习、自主探索的辅线，对学生加以正确的引导，双管齐下，既可以磨练学生们的基本功，也能引导学生探索分析类课程的广度和深度，加强串联，有助于同学们更好地理解整个体系，达到事半功倍的效果。

同时，在延拓的研究中，渗透了许多深刻的思想方法，例如在复变函数中，我们可以利用傅里叶变换及其逆变换得到一个满足特定下降条件的函数积分表达式，再对该表达式进行解析延拓；同时，我们可以将一般的线性空间分解为低维的子空间，然后利用超限归纳法得到泛函的延拓。这实际上是一个具体到抽象再到具体的思维过程，在分析学循序渐进的教学中，慢慢的将这些数学思想渗入学生的思维体系中，对学生日后的深入学习极为重要，而很多时候被我们忽视的延拓可以在这样的渗透中充当一个关键的纽带。

因此，在教学中利用延拓将各类分析课程串联起来，让学生从整体上把握分析类课程的联系；同时，也可以通过延拓来训练运算能力。以点带面，很好地修正现今教学中的不足，为分析类课程的学习奠定基础。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2010：80-85.

[2]余家荣.复变函数[M].4版.北京：高等教育出版社，2007：20-31.

[3]刘炳初.泛函分析[M].3版.北京：科学出版社，2015：77-90.

[4]季全宝.浅谈高等师范院校数学系《数学分析》教学改革和课程建设[J].中国科教创新导刊，2007，（13）：105-105.

[5]李文赫，张彩霞，李阳.数学分析——课程的教学改革探索与实践[J].教育教学论坛，2012，（13）：23-24.

[6]金玲玉，房少梅，刘文琰.数学分析教学改革的几点认识和体会[J].大学数学，2012，28（4）：25-30.endprint