恒过定点问题的再探索

陕西省西安市高新第三中学(710075) 吕二动

陕西省西安市西北大学数学学院(710127) 耿 妍

北师大版《步步高大一轮复习讲义》第357页第15题是关于从圆上两顶点出发的动直线与恒过定点问题,本文从此问题出发进行进一步推广,得到圆锥曲线恒过定点问题的一些普适结论.

问题1如图1,已知圆O的直径|AB|=4,定直线l到圆心的距离为4,且直线l垂直于直线AB.点P是圆O上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别交l于M,N两点.

图1

(1)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆的方程;

(2)当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.

笔者对此题作出大胆的猜想,能否将此题中的圆改为椭圆,结论还能过定点吗?答案是肯定的.

一、试题变式

变式1如图2,已知椭圆的左右顶点为A(−5,0),B(5,0),点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线,直线PA,PB分别交l于点M,N,求证:以MN为直径的圆经过椭圆的右焦点.

图2

做完此题,笔者对此题作了一般性结论的推广.

结论1 已知椭圆的左右顶点为A(−a,0),B(a,0),点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线,直线PA,PB分别交l于点M,N,求证以MN为直径的圆经过椭圆的右(左)焦点.

若将椭圆改为双曲线是否有相同的结论呢?答案是肯定的.

变式2 如图3,已知双曲线的左右顶点为A(−4,0),B(4,0),点P是双曲线上异于A,B的任意一点,直线,直线PA,PB分别交l于点M,N,求证:以MN为直径的圆经过双曲线内的右焦点.

图3

结论2已知双曲线的左右顶点为A(−a,0),B(a,0),点P是双曲线上异于A,B的任意一点,直线,直线PA,PB分别交l于点M,N,求证以MN为直径的圆经过双曲线的右(左)焦点.

对于以上的结论笔者考虑要是抛物线也有,那将是圆锥曲线的普适结论,但抛物线只有一个顶点,所以笔者对条件进行修改,便有下面问题.

变式3 如图4,已知抛物线y2=4x,点A是双曲线上异于原点O(0,0)的任意一点,直线l:x=−1,过点A向y轴做垂线,与直线l交于点M,直线AO与直线l交于点N,求证:以MN为直径的圆经过抛物线的焦点.

图4

结论3 已知抛物线y2=2px,点A是双曲线上异于原点O(0,0)的任意一点,直线,过点A向y轴做垂线,与直线l交于点M,直线AO与直线l交于点N,求证以MN为直径的圆经过抛物线的焦点.

统一结论圆锥曲线上过异于顶点的点与两顶点组成的两条直线与圆锥曲线的准线相交于两点,以这两点组成的线段为直径的圆恒过焦点.特别的当圆锥曲线为只有一个顶点的抛物线时,其中一条直线为过曲线与准线垂直的直线.

二、试题拓展

拓展1若A点为椭圆上任意一点,B为A点关于原点的对称点,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线,直线PA,PB分别交l于点M,N,则以MN为直径的圆经过椭圆的焦点.

拓展2若A点为x轴上椭圆上任意一点,B为A点关于原点的对称点,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,F为椭圆的右焦点,PF与椭圆交于点Q,直线,直线PA,PB分别交l于点M,N,则.

拓展3若A点为x轴上椭圆上任意一点,B为A点关于原点的对称点,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线l:x=x0(|x0|＞a),直线PA,PB分别交l于点M,N,则以MN为直径的圆经过点.

拓展4若A点为椭圆的左顶点,B为椭圆的右顶点,F为椭圆的右焦点,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,PF与椭圆交于点Q,直线,直线PA,PB分别交l于点M,N,MN的中点记为G,MN与x轴的交点为A1,M1N1为MN在右(左)准线上的投影,则有以下结论:

(2)A、N、Q三点共线.

(3)MF平分∠PFB,FA1平分∠PA1Q.

(4)MA1//GN1.

拓展5若A点为x轴上椭圆上任意一点,B为A点关于原点的对称点,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,F的坐标为(m,0)(|m|＜a),PF与椭圆交于点Q,直线,直线PA,PB分别交l于点M,N,则.

以上结论对双曲线都成立,部分结论对抛物线也成立,这些及上面拓展的证明留给有兴趣的读者去思考,这些结论仅仅圆锥曲线的一部分,圆锥曲线中蕴含着复杂多变的关系,其研究空间很大,收获颇多,其乐无穷!

数学是研究空间形式与数量的关系,数学的本质是“智慧”,是“人的思维”,数学教学的本质是思维过程的引导、启发,因此,做数学题要从根本出抓起,通过研究问题的变式,优化解题的方法,拓展问题应用,揭示问题的背景等方式,跳出无边无际的“书山题海”,通过对解题过程之反思,留住知识之根、方法之根,价值之根和本质之根,只有从根处浇灌知识之营养,数学之花,才能灿烂绽放.