极点配置问题下二阶系统研究现状及发展动态分析

罗海林

摘要：極点配置问题常出现于控制结构系统中，是其中重要问题之一。极点配置问题的关键就是通过选取适当的状态反馈矩阵，使得闭环控制系统中的矩阵所期望的极点配置到事先给定的位置上，从而保证整个系统具有良好的动态特性，即部分极点配置问题。

关键词：极点配置;二阶系统

0 引言

极点配置问题研究最早是由Wonham （1967）提出。早期学者主要研究的是在开环控制系统中极点的完全配置问题，但是在实际工程问题中，开环控制系统中仅有小部分极点是其产生共振现象的原因。因此我们只需重新配置这些点就可以避免共振的发生，如果剩余的特征结构仍然保持稳定性，那么就把这类问题叫做部分极点配置问题。

该问题就是通过状态反馈控制将闭环系统中的不期望的极点配置成预期指定的极点，从而改善系统的性能，也就是通过修正外力控制，来引起开环系统矩阵的部分特征结构的变化。最近几年还将二阶系统问题的相关研究方法逐步推广到了高阶系统的部分极点配置问题中。本文的主要工作是对前人研究的问题和所用的方法做一个系统的归纳，为以后学者研究该问题提供参考和依据。

1 二阶系统研究现状及发展动态分析

1.1 研究背景

二阶系统部分极点配置问题研究的是如下振动结构形式的有限元生成模型：

M₀v（t）+C₀v（t）+K₀v（t）=f（t）（1）

其中M₀，C₀和K₀分别表示质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵，V（t）是n阶状态变量。然而这些系数矩阵具有以下特殊性质：①矩阵M正定，C和K半正定;②都是n阶对称矩阵。对于（1）式的一般解可由等式：

M₀v（t）+C₀v（t）+K₀v（t）=0（2）

确定。设v（t）=xe^λt，其中x∈C，λ∈Cⁿ，代入（2）得：

（λ²M+λC+K）x=0（3）

记P（λ）=λ²M+λC+K，那么就称P（λ）为开环二次束。其中，特征值λ与自然频率相关，特征向量表示（2）的模态振型，并且（3）式有2n个特征对，表示为{λ_t，x_i}i=1²n.

在实际工程中，为了避免系统的共振现象，一般是通过修正外力来改变P（λ）的部分特征结构，从而提高系统的稳定性。令

f（t）=Bu（t），u（t）=F^Tv（t）+G^Tv（t）（4）

其中B∈R^n×m为满秩控制矩阵，u（t）∈R^m表示状态反馈控制变量，F，G∈R^n×m表示反馈矩阵。结合上述（3）式，可以有下面的二阶闭环控制结构系统：

My（t）+（C-BF^T）v（t）+（K-BG^T）v（t）=0（5）

对（5）式作上述同样的变量分离，得到二阶闭环系统的特征值问题模型：

P_c（λ）x=[λ²M+λ（C-BF^T）+（K-BG^T）x=0]

（6）

其中称P_c（λ）=λ²M+λ（C-BF^T）+（K-BG^T）为闭环二次束。

1.2 文献分析

Brahmaa和Datta研究的是在二次振动系统中最小范数优化和鲁棒性的部分特征值配置问题。给定M，D和K对称，M正定和K半正定。本文基于我们提出新的优化算法来解决这些问题，并且满足无溢出条件。Yuan和Liu研究的是阻尼结构系统的一种迭代修正方法，使用了对称特征值去重新配置。当给定系数矩阵M，D和K对称，矩阵M非奇异，C=B^T时，使得BFB^T和BGB^T的范数同时达到最小。Ladaci和Bensalia研究的是基于自适应控制的间接分数阶极点配置问题。本文由分数阶极点位置提出一种间接自适应控制器，所提出的控制策略是基于自我调优控制结构和植物模型参数的在线估计，采用了递归最小二乘（RLS）算法，设计过程的目的是使控制装置以改进的性能行为和对干扰和噪音具有良好的鲁棒性作为参考。Liu和Yuan研究的是具有时间延迟的部分二次极点配置问题的多步方法。给定M，C和K都是实对称矩阵，矩阵M正定，K非奇异，求解反馈矩阵F和G，并且保持无溢出。然而，多步方法的优势在于不用敏感矩阵和解西尔维斯特方程。

1.3 有待进一步研究的问题

近些年，对干部分二次特征值配置问题研究取得了一定的成果。Yuan和Liu利用对称特征结构配置研究了阻尼和刚度系数矩阵的修正问题的最佳逼近问题，提出了一种交替方向求解算法。对干部分二次极点的配置问题，当矩阵C对称，M和K分别正定和半正定时，如何保持二次束结构的稳定性，甚至保证配置的无溢出性，这仍然是一个很具挑战性的问题。

3 总结

本文对部分极点配置问题的理论与方法进行了归纳，内容主要包括：二阶系统的研究背景、文献分析以及有待进一步研究的问题。部分极点配置问题的核心是对影响整个系统性能因素的分析和控制，状态反馈、时滞现象、解的优化等因素，这些问题有待进一步展开研究。

参考文献

[1]Brahmaa S.，Datta B.，An optimization approach for minimumnorm and robust partial quadratic eigenvalue assignment prob-lems for vibrating structures，Journal of Sound and Vibration，2009（324）：471-489.

[2]Ladaci S.，Bensafia Y.，Indirect fractional order pole assignmentbased adaptive control，Engineering Science and Technology，anInternational Journal，2016（19）：518-530.

[3]Liu H.，Yuan Y.，A multi-step method for partial quadratic poleassignment problem with time delay，Applied Mathematics andComputation，2016（283）：29-35.

[4]Yuan Y.，Liu Hao，An iterative updating method for dampedstructural systems using symmetric eigenstructure assignment，Journal of Computational and Applied Mathematics，2014，（256）：268-277.