基于最大熵谱估计的某型飞行模拟器动态性能验证

王哲，李国辉，赵善禄

（空军航空大学军事仿真研究所，长春130022）

0 引言

经典谱估计虽然计算效率高，但是由于窗函数的局限性，在计算过程中不可避免地出现频谱泄露、谱峰转移、分辨率低等缺点。针对经典谱估计的局限，现代谱估计方法应运而生，其中最大熵谱估计法是一种常用的现代谱估计方法。

1 最大熵谱估计与一致性验证

1.1 最大熵谱估计

1967年，Burg最早将“熵”这一概念从信息论中引入到谱估计中，提出最大熵谱估计[1]。最大熵谱估计具有分辨率高，使用范围广的特点。

“熵”是对于随机性进行度量的量，熵值越大，则随机性越大。假设p(x)为连续随机变量的概率函数密度，则“熵”可以定义为：

如果平稳时间序列{xt,t∈Z}是正态随即过程，其功率谱为S(ω)，那么功率谱熵为：

与熵的原始定义相似，I（S）表示随即序列不确定性的度量，I（S）值越大，表明随机性越强。根据谱估计知识可知，样本序列自相关函数和功率谱密度构成傅里叶变换对，在已知相关函数r(m),m=0,1,2,…,p情况下，对m>p的自相关函数进行外推，当功率谱S(ω)满足如下约束条件：

当在上数条件下使得H(S(ω))最大时，这样的过程称为最大熵谱估计，估计出的Ŝ()ω为最大熵谱。可以证明，正态随机过程的最大熵谱估计与AR模型谱估计是等效的[2]。AR模型的功率谱为：要想求信号功率谱密度pn(ω)，需要求出上式中的参数φ和σ。可以通过Yule-Walker法或Burg法求得相关参数，具体过程见参考文献[3]。当确定相关参数后，就可通过4式计算功率谱。

1.2 一致性验证

对最大熵谱估计进行一致性检验，有常规的非参数检验、窗谱估计一致性检验和最大熵谱估计一致性检验等多种方法[4]。本文采用最大熵谱估计一致性检验法与模型相结合进行检验。

最大熵谱估计的统计结果是有限的近似结果，是渐进无偏与渐进正态的[5]。当采样数目N与AR模型的阶数M足够大时，最大熵谱的均值与方差为：

对 Ŝ(ω )作对数变换得到logŜ(ω )，由于 Ŝ(ω)是正态的，所以 logŜ(ω )仍为正态的。logŜ(ω)的均值和方差为：

该对数谱 logŜ(ω)的100(1 -α)%置信区间近似为

对于两个独立时间序列的功率谱密度均渐进正态情况下，第i个带宽中对数的抽样分布近似为：

假设两个时间序列具有相同功率谱密度函数，即S1(ω1)=S2(ω2)，根据式8可以得出：

该假设检验的接受域是[ ]-Zα/2≤D≤Zα/2，α 为该检验的显著水平，N1、N2是两次试验的样本容量，M1、M2是AR模型的阶次。

在检验过程中，原则上对每个频率点都要进行检验，如果每个频率点都接受该检验，则说明两序列相容。检验的公式为：

但是，与窗谱估计一致性检验类似，在实际验证过程中，由于频率点过多并且有的点功率谱较弱，所以工程中常常关注于频率谱较强的点。

2 实例验证

由前面章节的知识可知，对于正态随机过程，可以通过建立与之等效的AR模型进行最大熵谱估计。本节仍采用飞机水平加速的纵向过载nx随飞行速度ViV变化的仿真数据与试飞数据进行一致性检验。故需先建立AR模型。

在对仿真数据与试飞数据进行最大熵谱估计前，首先需要建立AR模型。由于经过数据预处理，仿真数据与试飞数据均可视为正态随机过程，可以参考文献[6]中时序建模的方法建立AR模型。对于模型阶数的确定，目前有多种准则与方法，主要有赤池FPE准则、AIC准则和Parzen的自回归传递函数准则[7]。本文对于模型阶数的确定，采用工程上常用的经验公式由于采样数目为N1,N2=3000，则M≈18，采样频率为

阶数为 P，模型参数为 φ1,φ2,…,φP的 AR（p）可以表示为

其中，{εt}是白噪声序列，满足 EXsεt=0 对一切s

采用Marple算法解yule-walker方程，利用MATLAB软件计算出相关参数，得到仿真数据的AR模型为：

Xt=1.5761Xt-1-0.7562Xt-2-0.5123Xt-3-0.3165Xt-4+0.2119Xt-5+0.0352Xt-6-0.0158Xt-7-0.0264Xt-8+0.0322Xt-9+0.0286Xt-10-0.0346Xt-11+0.0153Xt-12-0.0234Xt-13+0.0315Xt-14+0.0446Xt-15-0.0061Xt-16+0.0019Xt-17+0.0211Xt-18

试飞数据的AR模型为：

Xt=1.3213Xt-1-0.8613Xt-2-0.7449Xt-3-0.4881Xt-4-0.3591Xt-5-0.1011Xt-6-0.0695Xt-7+0.0987Xt-8+0.0413Xt-9-0.0363Xt-10-0.0303Xt-11-0.0134Xt-12+0.0006Xt-13+0.0201Xt-14+0.0362Xt-15-0.0061Xt-16+0.0109Xt-17+0.0211Xt-18

根据4式对仿真数据与试飞数据进行最大熵谱估计，得到如图1所示功率谱对比曲线。

图1nx随Vi变化最大熵谱估计对比曲线

根据归一化处理后的功率谱密度，确定主要频率区间为[0,0.025]，因此可以对该区间内的频率点进行一致性检验。要验证nx随Vi变化的试飞数据功率谱S1(ω1)和仿真数据功率谱S2(ω2)的相容性，需要检验S1(ω1)=S2(ω2)，构造统计量D：

其中，M1,M2为AR模型阶次，N1,N2为采样点数量，α为显著水平，统计量D对于该假设检验的接受域为[ ]

-Zα/2,Zα/2，按公式 11进行检验：

当显著水平 α取 0.05时，查表得 Zα/2=1.96，N1=N2=3000，M1=M2=18，计算得B≈0.30。因此，只需要验证在主要频率区间内每个频率点处A的值小于0.30，就可以说明试飞数据与仿真数据的功率谱密度具有一致性。图2为A在[0,0.025]区间内的曲线图。

图2nx随Vi变化最大熵谱估计验证曲线

由图2可知，在主要频率区间内，有A≤B，所以在置信水平为95%情况下，S1(ω1)=S2(ω2)成立，即 nx随Vi变化的试飞数据与仿真数据具有一致性。

3 结语

本文以飞机在某高度平飞加速过程中过载随速度的变化为例，采用最大熵谱估计法对仿真数据和试飞数据进行一致性检验，取谱峰附近[0,0.025dB]作为主要频率区间，检验结果显示，功率谱的主要频率点在95%的置信水平下，nx随Vi变化的仿真数据与试飞数据在统计意义下一致，该方法适用于其他动态飞行性能的一致性检验。

[1]李鹏波.时间序列样本的总体一致性检验——频域方法[J].飞行器测控学报，1999，18（4）.

[2]曾鸣,李雪青,谢保川,等.基于飞参数据的飞行仿真模型验证[J].指挥控制与仿真,2011,6（12）.

[3]徐慧娟.自回归AR模型的整体最小二乘分析研究[D].上海:东华理工大学,2012.

[4]李鹤.基于试飞数据的模型飞行模拟器飞行性能验证研究[D].空军工程大学,2009.

[5]李鹏波,高霞.应用最大熵谱估计进行导弹系统的仿真模型验证[J].国防科技大学学报，1999,21（2）.

[6]李鹤,吕岩,李国辉.飞行仿真动态数据验证的时序建模方法[J].兵工自动化,2008,27（12）.

[7]王建华,符文星,董敏周.最大墒谱估计在空空导弹仿真模型验证中的应用[J].弹箭与制导学报,2005,25（4）.