基于光滑聚集代数多重网格的有限元并行计算实现方法

武立伟++张健飞++张倩

摘要： 基于光滑聚集代数多重网格法实现一种用于结构有限元并行计算的预条件共轭梯度求解方法。对计算区域进行均匀划分，将这些子区域分配给各个进程同时进行单元刚度矩阵的计算，并组合形成分布式存储的整体平衡方程。采用光滑聚集代数多重网格预条件共轭梯度法对整体平衡方程进行并行求解，在天河二号超级计算机上进行数值试验，分析代数多重网格的主要参数对算法性能的影响，测试程序的并行计算性能。试验结果表明该方法具有较好的并行性能和可扩展性，适合于大规模实际应用。

关键词： 有限元法； 光滑聚集； 代数多重网格； 共轭梯度法； 可扩展性

中图分类号： TB121文献标志码： A

收稿日期： 2017[KG*9〗07[KG*9〗26修回日期： 2017[KG*9〗09[KG*9〗04

基金项目： 中央高校基本科研业务费专项（2016B06414）；国家自然科学基金委员会广东联合基金超级计算科学应用研究专项

作者简介： 武立伟（1993—），男，山东淄博人，硕士研究生，研究方向为高性能计算，（Email）liweiwu@hhu.edu.cn；

张健飞（1977—），男，江苏海门人，副教授，研究方向为高性能计算与计算力学，（Email）jianfei@hhu.edu.cn

Implementation of parallel finite element computation

based on smoothed aggregation algebraic multigrid

WU Liwei，ZHANG Jianfei，ZHANG Qian

（College of Mechanics and Materials， Hohai University， Nanjing 211100， China）

Abstract： Based on the smoothed aggregation algebraic multigrid， a preconditioned conjugate gradient method for parallel structural finite element computation is proposed. The structure is divided into substructures evenly， the substructures are assigned to processes to calculate the element stiffness matrix simultaneously， and the global equilibrium equations in the distributed storage are assembled. The parallel solution of the global equilibrium equations are improved by the smoothed algebraic multigrid preconditioned conjugate gradient method. The numerical test is carried out on the Tianhe 2 super computer. The influence of the main parameters of algebraic multigrid on the algorithm performance is analyzed， and the parallel computation performance of the process is assessed. The numerical results show that the proposed implementation is of good parallel performance and scalability， and it can be used in largescale applications.

Key words： finite element method； smoothed aggregation； algebraic multigrid； conjugate gradient method； scalability

0引言

有限元法是工程结构分析的一種重要数值方法。随着工程规模不断扩大、工程复杂性不断增加和计算精度要求不断提高，传统的串行有限元程序的计算规模和计算速度都已经不能满足需求，迫切需要发展能够在超级计算机上高效运行的可扩展有限元并行算法和程序。目前，传统有限元并行计算中常用的并行算法主要有子结构并行算法[1]、多波前法[2]和预条件共轭梯度法[34]等。这些方法中的直接法计算量和存储量大、并行程度不高，预条件共轭梯度法中的预条件为提高并行性而降低收敛性，也无法适应大规模应用。代数多重网格法[56]不需要几何网格信息，仅从方程组代数结构出发，形成虚拟的粗细网格，以达到加速收敛的目的。该方法具有存贮量小、收敛快和可扩展性好等优点，将其用于结构有限元大规模并行计算，可以进一步增大计算规模、提高计算速度，能满足现代工程结构分析与设计的要求。

本文基于光滑聚集型代数多重网格法[7]，实现一种用于结构有限元大规模并行计算的预条件共轭梯度方法，并在天河二号超级计算机上对不同的聚集策略、光滑迭代算法和粗网格求解方法进行影响分析，测试和分析程序的并行性能。

1有限元计算

有限元法是通过连续体的离散与分片插值，将求解物理问题的控制微分方程转变为求解线性代数方程组的一种近似数值算法。首先，将问题的求解区域剖分成有限个单元的集合，在单元内用分片插值表示待定函数的分布；然后，由变分原理获得定解问题的线性代数方程组；最后，求解该方程组即可得到待定函数的数值解。endprint