用变量代换求解几类一阶微分方程

黄文蝶

摘要：用变量代换解微分方程可以使微分方程的求解问题化繁为简，化难为易.将不能解决的问题转化为可以能够解决的问题。本文通过实际的例子，探讨了变量代换在求解几类微分方程之中的应用。

关键词：变量代换；求解微分方程

可分离变量的微分方程可以直接分离变量求出方程的通解，一阶线性微分方程可以通过常数变异法求出其通解。但是对于许多一阶微分方程来说，不能通过前面讲的方法直接求出微分方程的通解。但是可以把某个式子看成一个整体，或者用式子代替某些变量，从而使得问题得到简化，这种方法也叫换元法。换元法的实质是转换，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。变量代换是微分方程求解得一种重要方法，本文通过一些具体的例题介绍了如何用变量代换求解一阶长微分方程的几种方法。

1. 型的微分方程

对微分方程 作变量变换 ，求微分得 ，代入方程将 替换即得原方程得通解。

例1 求解方程

解 对上式作变量变换 ，求微分得

代入方程将 替换得

变形积分得原方程得通解为

2. 型的微分方程

微分方程 ，通过变量变换 ，则两边微分得

代入原方程化简即得原方程得通解。

例2求解方程

解：对上式做变量变换 ；则两边微分得 ，

代入原方程化简得 ；

再令 而 ，两边微分得

将上式代入化简得其通解为

总结：当方程中出现 等形式的项的时候，通常要做相应的变量替换 ...

3、伯努利方程

（ ）

当 时，我们用 乘两边，得到 现令 ，两边对 求导有 代入原方程即为

上式就是我们讲解的一阶线性非齐次方程，因此，可求得它的通解。此外，当 的时候，方程还有解

例3 求解方程

解：当 时，满足方程，是方程的解

当 时，将该方程变形为 ，现令

于是方程变形为 为一阶线性微分方程

得到原方程的通解为

4.一阶隐式微分方程

第一类：微分方程 ，引入参数 ，则 ，两边同时对 求导，则 是关于 的显式方程。

第二类：微分方程 ，引入参数 ，则 ，两边同时对 求导，则 是关于 的显式方程。

第三类：微分方程 ，引入参数 。对 求微分并代入

则 ，又 ，则 是可分离变量微分方程。

第四类：微分方程 ，引入参数 ，对 求微分并代入 ，则 是可分离变量微分方程。

例4 求解方程

解：令 得 代入原方程得 ，由此可得 ，

，又

所以 为可分离变量的微分方程，求解得

通过以上几类微分方程的分析可以看出，变量代换作为一种基本技巧，是求解一阶微分方程的一种重要方法。它可以将复杂的微积分形式通过变量替换转换为常见的一阶微分方程，方便求解。

参考文献：

[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].北京：高等教育出版社出版，2008.30-70.

[2]張东.变量代换在求解微分方程问题中的应用 [J].高校讲坛，2006（15）：164-165

[3]李丽.变量代换在求解一阶微分方程中的应用[J].山西大同大学学报（自然科学版）.2012，28（4）：6-7