有限元法的力学基础中空间一点应力状态矩阵化思维教学研究

伍建伟　淮旭鸽　赵亮亮　鲍家定

【摘 要】弹性力学是有限元法的力学基础，空间一点应力状态是实际中我们常常遇到的问题。然而，目前这部分的教学内容都是基于微小单元通过力学平衡的角度来进行严密推导的，計算上显得繁琐，教学效果并不理想。对此，该文在严谨力学推导的基础上，总结出空间一点应力在不同斜面上的应力状态，实质上就是应力矩阵和斜面外法线的数学运算，而主应力和主平面即为求解应力矩阵特征值和特征向量的问题。通过空间一点应力状态的矩阵化思维，概念清晰、容易记忆、且运算简单，可以很方便地结合现代计算机技术进行计算求解。

【关键词】有限元；应力状态；特征值；特征向量；教学研究

中图分类号：TB121/G642.0 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）26-0231-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.26.106

Teaching research on matrix representation of spatial stress state in the mechanics foundation of finite element method

WU Jian-wei HUAI Xu-ge ZHAO Liang-liang BAO Jia-ding

（Mechanic and Electronic Engineering，Gulin University of Electronic Technology，Guilin Guangxi 541004，China）

【Abstract】Elasticity is the mechanical basis of the finite element method. Space stress state is a common problem in practice. However， the current teaching content of this part is based on the micro-units to perform a rigorous derivation from the perspective of mechanical equilibrium. The calculation is cumbersome so that the teaching effect is not ideal. Then， based on the rigorous mechanics derivation， the spatial stress state on different planes is analyzed and summarized in this paper and essentially the mathematical operation of the stress matrix and the outer normal vector of the plane. In fact， calculating the principal stress and the principal plane is converted to solve matrix eigenvalues and eigenvectors. Through the matrix representation of a point stress state in space， the concept is clear， the expression is easy to remember， and the operation is simple， which can be conveniently combined with modern computer technology to solve.

【Key words】Finite element method； Stress state； Eigenvalues； Eigenvector； Teaching research

0 前言

有限元分析[1-3]是随着计算机技术发展而迅速发展起来的一套力学问题数值求解方法，是解决复杂工程问题动静态分析十分重要的工具，在培养学生的科学研究能力和工程应用能力中起着十分重要的作用。弹性力学是有限元法的力学基础，空间一点应力状态是实际中我们常常遇到的问题。然而，目前这部分的教学内容都是基于微小单元通过力学平衡的角度来进行推导的，虽然严谨，但在计算上却显得繁琐，学生不但计算不便，其公式也难以记忆。还有学生甚至表示，材料力学中的平面应力状态的公式就难以记忆并应用。通过课后作业情况来看，这部分内容的教学效果并不理想。

对此，本文在严谨的力学推导基础上，总结出空间一点应力在不同平面上的应力状态，实质上就是应力矩阵和斜面外法线的简单数学运算，而主应力和主平面即为应力矩阵的特征值和特征向量问题。据了解，大二上学期本科生已经学习了线性代数，完全可以用矩阵思维来进行运算求解，一方面能够巩固所学知识，另一方面也有利于所学知识的运用。最后，通过举例来说明了空间一点应力状态在不同斜面的表示以及主应力和主平面的求解流程。

1 空间一点应力状态

1.1 任意斜面上空间一点应力状态

假定已知一点P处坐标面上的6个应力分量，求经过该点斜面上的应力。为此，在P点附近取一个平面ABC，平行于这一斜面，并与经过P点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC，如图1所示。当四面体PABC无限减小而趋于P点，平面ABC上的应力就是该斜面上的应力[4]。

设平面ABC的外法线为n'，其方向余弦cos（n，x）=l，cos（n，y）=m，cos（n，z）=n。

如果需要得到切应力为τn在斜面的方向，则需要先定义一个沿该斜面的坐标系，然后通过px，py，pz向该坐标系投影来计算。

根据平面方程的概念可知，若給定一个斜面方程：

易知，A， B和C为该平面外法线n'的坐标，将外法线n'进行单位化，得：

式中，l，m和n为该平面外法线n'沿各个坐标的方向余弦。

1.2 任意斜面上空间一点应力状态的矩阵表示

事实上，式（1）、（2）均可以用矩阵形式来进行表示。式（1）矩阵表示如下：

上式中，p为斜面应力沿各个方向坐标的向量，σ为应力矩阵，n'为斜面外法线向量的方向沿各个坐标的方向余弦。

根据式（8），则式（2）矩阵表示如下：

根据式（9）和（11）代入式（4）中，利用数学软件（如Matlab、Mathematica、Maple等）就可以计算沿该斜面的切应力。

2 主应力和主平面

经过一点P的某一斜面上的切应力为0，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力，该斜面称为P点的一个主平面，而该斜面的法线方向称为P点的一个主应力方向。

假设在P点的主平面存在。由于该面上的切应力等于0，所以该面上的全应力就等于该面上的正应力，也就等于主应力σ。于是，该面上的全应力在坐标轴上的投影为：

将式（12）代入式（1）中，整理得：

此外，还有方向余弦的关系式：

l2+m2+n2=1（14）

因此，说明l，m和n不能全为0。说明该方程（关于l，m和n的方程）有非零解，即系数行列式等于0：

从式（13）、（14）和（15）中可以看出，主应力其实就是应力矩阵σ的特征值，而l，m和n则为该矩阵的特征向量的三个分量，只不过此时的特征向量需要单位化。当然，如果出现重特征值时，还需要将特征向量进行正交化。事实上，式（13）也可以写成矩阵的形式：

上式中的λ为特征值（即主应力σ），与线性代数表示的特征值与特征向量的形式完全一致。

根据线性代数的定理可知，对于实对称矩阵而言，特征值为实数。根据切应力互等定理，可知应力矩阵σ为实对称矩阵，说明主应力为实数。根据线性代数关于特征值和特征向量的计算方法，得到l，m和n后，便确定了主应力和主平面。

空间一点应力状态矩阵化表达后，利用矩阵的运算方法，根据数学软件很容易计算空间一点应力的主应力和主平面。下一节将举例说明空间一点应力状态的计算过程。

3 空间一点应力状态计算举例

3.1 给定斜面上空间一点应力状态的计算

已知某点的应力分量为σx=1MPa，σy=2MPa，σz=3MPa，τxy=0.5MPa，τyz=0，τzx=1MPa。在经过的平面x+2y+2z=1上，求沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和切应力。

解答如下：

根据已知条件可知，应力矩阵和该平面单位化的法线向量为：

n'=lmn=1/32/32/3

根据式（9）、（11）和（4），代入数值便可以得到在该平面上沿坐标轴方向的应力分量、该平面上的正应力和切应力，如下：

其中，上面三式中得到的数值单位为MPa。

3.2 主应力和主平面的计算

已知某点的应力分量为σx=σy=50MPa，σz=4MPa，τxy=0MPa，τyz=τzx=10MPa，求主应力和主平面。

解答如下：

根据已知条件可知，应力矩阵：

利用Matlab软件进行计算，通过一条命令（调用eig函数）就可得到特征值和特征向量，即主应力和主平面的外法线向量：

4 结论

本文在严谨的力学推导基础上，得出两个结论：（1）空间一点的应力状态在不同斜面的表示可以由应力矩阵和该斜面的外法线向量进行运算得到；（2）空间一点应力状态的主应力和主平面，可以通过计算应力矩阵的特征值和特征向量得到。通过空间一点应力状态的举例计算，说明这种矩阵化方法可以很方便地结合现代计算机技术求解一点应力在不同平面上的应力状态以及主应力和主平面，概念清晰，容易记忆，且运算简单。

值得注意的是，本文仅仅一个关于空间应力状态的矩阵化思维的方法，实际中还有很多类似的问题。通过矩阵化表示和运算，能够极大地简化我们所遇到的问题，应当有效地应用到我们的教学中来，提高教学效果。

【参考文献】

[1]曾攀.有限元分析及应用[M].清华大学出版社，2004.

[2]胡于进，王璋奇.有限元分析及应用[M].北京：清华大学出版社，2009.

[3]伍建伟，蒋占四，刘夫云，等.机械专业有限元原理及应用课程教学改革研究[J].科技创新导报.2017（05）：193-194.

[4]苏少卿，刘丹丹，关群.弹性力学[M].武汉：武汉大学出版社，2013.