巧用对比方法，轻松学习“实数”

吴琳

“实数”属于“数与代数”领域.同学们在七年级上学期已经系统地学过有理数，对有理数的概念和运算等有了比较深刻的认识.本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识.本章的特点是新概念比较多，比如实数、无理数、平方根、算术平方根、立方根等.在学习过程中，如果不能准确地认清这些概念，不能识别这些概念之间的联系和区别，那么，在解题过程中，就会经常产生混淆，出现错误.怎样才能学好“实数”这一章的内容呢？刚才已经提到了，实数是在学习了有理数的基础上进行的，许多有理数的概念和运算可以“平移”到实数中来，这就给我们一个启示，把一些容易产生混淆的概念放在一起，运用对比的方法进行学习，可以提高学习效率.

一、利用概念的从属关系进行对比

概念的从属关系即如果有两个概念，一个是大概念，另一个是小概念，则大概念包括小概念，小概念包含在大概念之中.

比如，实数和有理数这两个概念.

什么是有理数？在七年级的时候，我们学过，整数和分数统称为有理数.什么是实数？有理数和无理数统称为实数.从这两个概念的定义中不难发现，实数与有理数这两个概念属于从属关系，实数包含有理数，但实数不一定都是有理数，它也可能是无理数，而有理数一定是实数.比如[2]不是有理数，但它是实数.以上是这两个概念的区别，两个概念之间也有联系.有理数中的有关概念，比如相反数、绝对值可以推广到实数，有理数的运算（如加、减、乘等）以及运算律、运算性质（如交换律、分配律、结合律等）在实数范围内仍然成立.

再比如平方根和算术平方根这两个概念.如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，如果a是一个正数，那么a的平方根就有两个，比如4的平方根就有两个，这两个数分别是2和-2，其中2又叫作4的算术平方根.因此，平方根一定包括算术平方根，但不一定是算术平方根，而算术平方根一定属于平方根.

通过以上的对比学习，两个概念是不是可以弄得更清楚了？

二、利用概念的本质区别进行对比

两个概念如果在内涵上是完全对立的，有着本质上的区别，那么，这两个概念也可以放在一起进行对比学习.

比如，无限循环小数与无限不循环小数.无限循环小数是无限小数的一种情形，就是从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或几个数字的无限小数.实际上，每一个无限循环小数都能够转化成分数的形式，因此，无限循环小数实际上属于有理数.无限不循环小数的小数点后虽然也有无数个数，但是不循环，无限不循环小数又称为无理数.比如判断[13]是有理数还是无理数，有的同学发现，[13]化成小数时除不尽，就判定[13]是一个无理数，这就错了.任何一个分数都可以转化为小数的形式，其中有的分数化为小数后是有限小数，比如[12]化成小数后就是一个有限小数0.5，而有的分数化成小数后是一个无限循环小数，比如[13]化成小数后就是一个无限循环小数0.3，因此，[13]是一个有理数.所以，对于无限循环小数与无限不循环小数这两个概念来说，本质上一个属于有理数，另一个则属于无理数.

三、利用概念的相似特征进行对比

如果两个概念不相同，但是具有一些非常相似的特征，这时候，把这两个概念放在一起，通过对比的方法进行学习可以更好地理解和掌握.

比如，平方根和立方根这两个概念.

从定义角度看，这两个概念的定义方式是完全一样的：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根.求一个数的平方根的运算叫作开平方，求一个数的立方根的运算叫作开立方.开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算.

以上是这两个概念相似的地方，两个概念也有区别.根据定义，只有非负数才有平方根，其中正数的平方根有两个，且互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根；而任何一个数都有立方根，这个数可以是正数、负数，也可以是0，一个数的立方根只有1个.比如，64的平方根是8和-8，64的立方根就是4，-64没有平方根，但-64的立方根是-4.

另外，在本章的學习过程中，我们也可以把有理数与数轴上的点之间的关系和实数与数轴上的点之间的关系进行对比学习.

总之，对比是一种非常有效的数学学习方法，同学们在以后的数学学习中要注意不断地领会，并加强运用.

（作者单位：江苏省南通市崇川学校）endprint