深挖公式，突破教学中的困惑

金叶

【摘要】在高中教学中，基本不等式看似简单，但是应用起来却非常容易出错，有的学生甚至在高考考场上还会出现失分现象，究其原因，是由于学生不能够正确地理解并加以应用.有鉴于此，本文通过深入公式的本质来突破学习中的难点.

【关键词】深挖公式;基本不等式;困惑

在高中数学中，基本不等式是学生容易犯错的主要内容，其中“一正、二定、三相等”，即，a+b≥2ab，在a>0、b>0的前提下，a=b时，才取得最小值，如果ab不能为定值时是不是意味着a+b没有最小值呢？这也是学生在应用基本不等式时常犯的错误，也是学生的易错点.下面，笔者在教学中深挖公式，以期突破教学中的困惑.

一、积为定值有和的最小值

在数学教材中，不等式“ab≤a+b2（a>0、b>0）”称为基本不等式，在解题中有着广泛地应用.在教学中，笔者会用到这样以下例子：用铁丝网扎出一个矩形菜园，面积为100 m2，问，当此矩形的长度和宽度分别为多少时，所用的铁丝网最短，最短值是多少？在授课中，在明确指出了基本不等式成立所需要的三个条件后进行了能力提升，笔者通过例题来启发学生进行深入探讨.

笔者：大家思考下，如果菜园的面积不是定值，是否可以求出周长的最小值？

学生：当面积不确定时，不能求出周长的最小值.

笔者：回答得非常好.假设a，b分别为菜园的两个边，结合基本不等式的公式，有何发现呢？

学生：基本不等式可以视为矩形周长2≥2矩形面积，因此，如果面积不能确定，那么矩形的周长也不会有最小值.

笔者：回答得非常好，通过基本不等式求最值，必须要满足“定”的条件，只有在积为定值的前提下才会有和的最小值.

通过思考，学生可以从宏观方面来掌握基本不等式求最值需要满足的条件，对此有个大概了解和掌握.

二、相等未必有和的最小值

在讲授完上述理论内容后，针对以往学生容易出错的地方来进行试题巩固.

题目：当x≥0时，7x+1的最小值为多少？

笔者：学生进行尝试，有几种不同的思路，均认为7x+1是代数式，可以将其分为两项，3x+（4x+1）、4x+（3x+1）、2x+（5x+1）、5x+（2x+1）、x+（6x+1）、6x+（x+1）、7x+1，学生都有不同的思路.

思路1：7x+1拆分为3x+（4x+1），则，7x+1=3x+（4x+1）≥23x·（4x+1），只有当3x=（4x+1）时，即x=-1时，7x+1的最小值为-6.

思路2：7x+1拆分为2x+（5x+1），则，7x+1=2x+（5x+1）≥22x·（5x+1），只有当2x=（5x+1）时，即，x=-13时，7x+1的最小值为-43.

思路3：7x+1拆分为6x+（x+1），则，7x+1=6x+（x+1）≥26x·（x+1），只有当6x=（x+1）时，即，x=15时，7x+1的最小值为125.

思路4：带入基本不等式，则，7x+1≥27x·1，只有当7x=1时，即，x=17时，7x+1的最小值为2.

笔者：大家对这道题有很多的思路，那么请分别按照上述思路来算出3x·（4x+1）、2x·（5x+1）、6x·（x+1）、7x·1的值，看是否为定值？依照上一问题，这些问题中的x是否是根据“a=b”得出，相同的试题为何却能得到不同的答案？大家能不能将7x+1与27x·1进行比较？

通过以上分析，學生们有了以下深刻认识：（1）如果ab不为定值，则7x+1所拆分到的值不确定，即使在基本不等式中存在“a=b”情形，不能得出a+b的最小值.而思路1和2求出的x值错误，因此，只满足“相等”条件并不能得到和的最小值;（2）在a>0，b>0的前提下，当a=b时，a+b=2ab，在a≠b情形下，a+b>2ab.如果a=b不存在，a+b不存在2ab的最小值.因此，笔者引导学生对基本不等式进行了深入讨论，应用习题来对理解的内容进行深入学习和探究，掌握正确的解题思路，通过辨析来从微观角度掌握公式的具体应用，提升基本不等式学习的质量和效率.

三、基本不等式教学反思

本文所研究内容是往年教学中学生都会出现的问题，我们应当从小处入手，紧抓教学细节，帮助学生辨识学习的内容.在基本不等式讲解过程中，有时候会很难处理学生的疑惑，加之教学过程不够细致，导致他们在学习时出现错误.通过预见式教学，学生在最开始时就会从宏观和微观两个角度进行辨析，这有助于突破教学的困惑，最终真正掌握基本不等式的精髓.

总之，正确应用基本不等式需要学生在理解的基础上来熟练应用，对一些容易犯错的内容，教师要深入分析错误原因，挖掘其中的内在本质，帮助学生掌握解题技巧，使他们能够正确、灵活地应用基本不等式.

【参考文献】

[1]陈超.高中数学不等式教学策略研究[D].呼和浩特：内蒙古师范大学，2016.

[2]刘清华.《基本不等式及其应用》教学设计[J].昭通师范高等专科学校学报，2011（a01）：46-53.