九层之台 起于累土

包卫民��

摘 要：本文就从一道高考题的多种解法入手，告诉同学们要学好高中数学必须重基础，重通法。

关键词：正弦定理；余弦定理；面积

很多的同学在学习高中数学时，一方面盲目地搞题海战术，学习停留在浅层次上；另一方面刻意地钻难题、怪题，忽略对通性通法的深刻理解。本文就从一道高考题为例，来说明只要双基抓好了，可以从不同的角度进行分析，从不同的角度入手解题。

例 （15年浙江高考题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=π4，b2-a2=12c2.

（1） 求tanC的值； （2）若△ABC的面积为7，求b的值。

第一问（解法1）：分析：由题设中“b2-a2=12c2”的特征可猜测与余弦定理有关系，使用a2=b2+c2-2bccosA进行求解。

解：∵b2-a2=12c2，

∴b2-a2=-c2+2bccosA=12c2。

化简可得22b=3c，可令b=3k，则c=22k，a=5k；

代入到cosC=a2+b2-c22ab中，可解得cosC=55，于是tanC=2。

第一问（解法2）：分析：由题设中b2-a2=12c2为齐次式，与A=π4可联想正弦定理，将b2-a2=12c2化为关于角C的等式，再进行求解。

解：用正弦定理可将b2-a2=12c2化为sin2B-sin2A=12sin2C

∵A=π4，∴sin2C+π4-12=12sin2C。

展开可化简得tanC=2

第一问（解法3）：分析：同解法2，只是中间的计算过程可从二倍角入手。

解：用正弦定理可將b2-a2=12c2化为sin2B-sin2A=12sin2C

∵A=π4，∴sin2B-12=12sin2C，

∴2sin2B-1=sin2C，于是-cos2B=sin2C，

∴-cos3π2-2C=sin2C，展开可化简得tanC=2。

第二问（解法1）：分析：由第一问知tanC=2，再利用已知A=π4，可求角B的正弦和余弦；再由A=π4，角B，S△ABC=7可分别利用正弦定理和三角形面积公式分别得到bc的比值和bc的值，再联立可求出b。

解：由tanC=2有sinC=255，cosC=55，

∵A=π4，∴sinB=sinπ4+C展开可解得sinB=31010。

由正弦定理sinBsinC=bc可得bc=324（1），

又由S△ABC=12bcsinπ4=7可解得bc=142（2），

联立（1），（2）可解得b=21。

第二问（解法2）：分析：由第一问知tanC=2，再利用已知A=π4，可求角B的正弦；再利用S△ABC的面积公式，可求得△ABC的外接圆半径2R，由b=2RsinB就可求出b。解：由tanC=2有sinC=255，cosC=55，

∵A=π4，

∴sinB=sinπ4+C展开可解得sinB=31010。

又由S△ABC=12bcsinπ4=122RsinB2RsinCsinπ4=7可解得2R=2103，

∴b=2RsinB=21。

第二问（解法3）：分析：过B点作AC边上的高BD交AC于点D，利用∠A=π4，tanC=2，令BD=x，有AD=x，CD=x2，从而AC=3x2，再由S△ABC=12AC·BD=7可求出x，于是b可求。

解：如右图，过B点作AC边上的高BD交AC于点D，∵∠A=π4，tanC=2，令BD=x，有AD=x，CD=12x，

∴S△ABC=12·32x·x=7，可解得x=2213，于是b=32x=21。

小结

以上两问分别都用了三种方法求解，每一种方法都很常规，属于基本的解题方法，通过此文，只想告诉同学们，在我们学习数学的过程中，切忌盲目地搞题海战术，切忌一味地钻难题、怪题；我们应该立足于基础，研究解法；不能只追求数量，不讲究质量；不能只追求难度，而忽视了根本。

作者简介：包卫民，云南省红河哈尼族彝族自治州，云南省蒙自县第一高级中学。endprint